完備距離空間

完備距離空間

 

を距離空間とする。

任意のε>0に対し、ある自然数pが存在し、任意の任意の自然数n、mに対して、

　　

であるとき、点列は基本列、コーシー列であるという。

 

距離空間の収束する点列は基本列、すなわち、コーシー列である。

点aをこの点列の極限点とすると、任意の正数ε>0に対して、ある自然数pが存在し、

　　

とすることができる。

したがって、m,n≧pならば、

　　

となるからである。

また、コーシー列は、有界である。

 

【証明】

をコーシー列とする。

コーシー列なので、ε=1に対して、ある自然数pが存在し、

　　

とすることができる。

m=pと固定し、とおけば、n≧pに対して、、つまり、となる。

ゆえに、

　　

とおけば、

　　

となる。

よって、は有界である。

（証明終）

 

距離空間の任意の点列が収束列であるとき、を完備距離空間であるという。

 

定理１

ユークリッド空間は完備距離空間である。

 

を距離空間とし、fをXからXへの写像とする。正数c<1が存在して、Xの任意の２点x、yに対して、

　　

が常に成り立つとき、fをの縮小写像という。

また、このとき、fは連続写像である。

 

x,y∈Xとし、yを固定すると、任意のε>0に対して、正数δを

　　

をみたすように定めれば、任意のε>0に対して、

　　

したがって、fは任意のy∈Xに対して連続となり、fは連続写像である。

 

 

定理２　（縮小写像の原理）

fを完備距離空間の縮小写像とすれば、

　　

となる点（不動点）がただ１つ存在する。

【証明】

fは縮小写像だから、0<c<1であるcが存在し、

　　

とすることができる。

Xの点x₁を任意に選び、

　　

とおく。

自然数n,rに対して、

　　

よって、点列は基本列である。

は完備であるから、の極限点aが存在する。

また、fは連続だから、

　　

が成り立ち、これが不動点である。

次に不動点がただ１つであることを示す。

Xの点yが不動点あるとすれば、

　

となる。

また、d(a,y)≧0だから、

　　

よって、不動点はただ１つである。

（証明終）