高校数学でおなじみのあの問題

高校数学でおなじみのあの問題

 

縮小写像と少し違うけれど、

理系のヒトならば、中間値の定理の応用として、きっと次の問題を見たことがあるはず。大学入試の問題として出題されたこともあるようだし、問題集や参考書にも載っているに違いない問題だから。

 

問題　閉区間[a,b]で連続な関数f(x)について、a≦f(x)≦bであるならば、

　　

となるcが[a,b]に存在することを示せ。

【解答例】

f(a)=aまたはf(b)=bならば、c=aまたはc=bをとればいい。

そこで、f(a)>a、f(b)<bとし、

　　

という関数g(x)について考える。

f(x)とxは[a,b]で連続だから、g(x)は[a,b]で連続。

　　

だから、中間値の定理より、

　　

となるcが[a,b]に存在する。

（解答例終）

 

滑らかな曲線じゃないから、図が悪いって。

お前らは見るだけだからそんな勝手なことをほざくにゃ。

少しは図を作るオレの立場になってみろ！！

図があるだけありがたないと思うべきだにゃ。

だいたい、この問題には滑らかな曲線なんて条件はついていない。

だから、これで十分だにゃ。

 

さて、本題。

 

中間値の定理を使えばこのように解くことができるが、

お前らには、

 

中間値の定理を使わずこの問題を解いてもらおうじゃないか。

 

二分法なんか、この証明に使えるんじゃないか。

 

　二分法

　https://goo.gl/TKpV4N

 

もう一曲♪

もっとも、二分法（区間縮小法(・・?）を使って、中間値の定理を証明しろという話になるんだけれど(^^ゞ
中間値の定理を使えないのだから、中間値の定理そのものを証明するしかあるまい！！