で、お前ら、問題は解けたのか？

で、お前ら、問題は解けたのか？

 

問題　x>0で、関数列が次のように定義されている。

　　

このとき、はx>0の各点で収束することを示せ。

 

「難しすぎて頭を抱え込むような問題ではない」と思うけれど、ヒントをいくつか出してやろう。

 

【ヒント１】

両辺の対数をとると、

　　

というに関する漸化式が得られる。

この両辺をlogxで引くと、

　　

・・・

 

このlogxはの極限値で、これからすぐに

　　

という答が導けたりして(^^)

 

 

もっとうまい方法は、x>0であることに注目！！

 

【ヒント２】

x>0なので、両辺をxで割ると、

　　

という漸化式が得られる。

この両辺の対数をとってもよし、（１）から直接一般項を導いてもよい。

 

なお、（１）式は、対数関数の

　　

という性質を使うと、

　　

と変形することも可能。

 

【ヒント３】

　　

これから、の一般項を推測し（「推測できるのならば」の話）、

　　

を求める。

 

まっ、こんなところですかね。

これだけヒントを出してやったのだから、どの方法でもいいから最後まで

画像元：下の動画

答は、

　　

だケロよ。

なお、
この問題は、の一般項を求めよという問題ではなく、極限値、極限関数を求めよという問題なので、必ずしもを求める必要はなく、極限関数だけを求めてもいい。

ただし、

　　

とし、

　　

の両辺の極限をとると、

　　

f(x)=0は解として不適だから、f(x)=xで、

　　

というのは無しだぜ。

これではあまりにひどすぎる。
ではあるが、これから「極限関数はf(x)=0かf(x)=xのいずれかだろう」と予想できることは事実である。