位相の問題 距離空間の開核、閉包作用子 [位相入門]
位相の問題 距離空間の開核、閉包作用子
§１ 距離空間
の位相の用語説明
dをX上の距離（関数）とする。
１ x∈Xと、任意のε>0に対し、
となるXの部分集合をxのε‐近傍や開球という。
２ x∈Xに対して、Xの部分集合Uが、あるε>0が存在し、
を満たすとき、Uはxの近傍といい、xの近傍全体の集合
を近傍系という。
３ Xの部分集合Aに対し、x∈Xが、あるε>0が存在し、
を満たすとき、xをAの内点という。Aの内点全体の集まりをAの開核といい
などで表す。
４ Xの部分集合Aに対し、x∈Xが、任意のε>0について、
を満たすとき、xをAの触点という。Aの触点全体の集まりをAの閉包といい、
などで表す。
５ Xの部分集合Aがを
みたすとき、AをXの開集合という。
６ Xの部分集合Aが
をみたすとき、Aをxの閉集合という。
７ Xの部分集合Aに対し、x∈Xが、任意のε>0について、
を満たすと、xをAの境界点という。Aの境界点全体の集まりをAの境界といい、
などで表す。
８ Xの部分集合Aに対し、x∈Xが、任意のε>0について、
をみたすとき、xをAの集積点といい、Aの集積点全体の集まりをAの導集合といい、
などで表す。
定理１ を距離空間、
をXの開集合全体の集まりとする。このとき、次のことが成り立つ。
【証明】
（１） 略
（２） x∈O₁∩O₂とすると、
だから、あるε₁>0が存在し、B(x;ε₁)⊂O₁、あるε₂>0が存在し、B(x;ε₂)⊂O₂とできる。
そこで、正数εを
にとれば、
よって、
（３） x∈O₁∪O₂とすると、x∈O₁またはx∈O₂である。だから、
をみたす
が存在する。
したがって、
よって、
（証明終）
定理２ AをXの部分集合とする。
Aが開集合⇔Aの補集合は閉集合
§２ 問題編
問題１ を距離空間、AをXの部分集合とする。次のことを示せ。
【解】
（解答終）
問題１は、閉集合の補集合は開集合であることを、開集合の補集合は閉集合であることを表している。
問題２ を距離空間、A、BをXの部分集合とするとき、次のことを示せ。
【解】
（１） すべてのx∈X、すべてのε>0に対して
。したがって、
。
（２） 
とすると、あるε>0が存在して
。したがって、
（３） （２）より、
である。とすると、あるε>0が存在して、
とすることができる。y∈B(x;ε)に対して、δ=ε−d(x,y)>0とおき、
とすると、
よって、
となり、
。つまり、
ゆえに、
したがって、
（４） （３）より
はともに開集合なので、
は開集合。ゆえに、任意のに対して
となるε>0が存在する。さらに（２）より、
となり、
。すなわち、
。
とすると、
となるε>0が存在する。よって、
すなわち、
よって、
したがって、
（解答終）
問題３ を距離空間、AとBをXの部分集合とする。このとき、次のことを示せ。
【解】
問題１の（１）と問題２の結果を使う。
（１） 
（２） 
より
（３） 
より、
（４） 
より、
したがって、
よって、
（解答終）
問題４ を距離空間、AとBをXの部分集合とする。このとき、次のことを示せ。
（１） はAに包まれる最大の開集合である。
（２） はAを包む最小の閉集合である。
（３） 
（４） 
【解】
（１） よりは開集合。Oを開集合でO⊂Aとすると、任意のx∈Oに対して、あるε>0が存在して、B(x;ε)⊂G。
また、G⊂Aであり、B(x;ε)⊂A。
したがって、
よって、
は集合Aに包まれる最大の開集合である。
（２） 
よりは閉集合。Fを閉集合でA⊂Fとする。
ならば、任意のε>0に対して、
よって、
ゆえに、
よって、
となり、はAを包む最小の閉集合である。
（３）
（４） 
（解答終）
2018-12-08 15:00
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