超〜危険な定理の確認問題の解答例

超〜危険な定理の確認問題の解答例

 

定理　次の２つは同値である。

（１）　集合Fは閉集合である

（２）　点列が収束するならば、その極限は集合Fに必ず属する。

 

 

確認問題１

A=(−1,1)とし、一般項が

　　

である点列（数列）を考える。

すると、この点列の極限値は0、0∈A。

定理よりAは閉集合となるが、A=(−1,1)は開集合となり、矛盾する。

これは、紹介した定理に反する。

どこがいけないのか、説明せよ。

【解答例】

「点列が収束するならば、その極限は集合Fに必ず属する」は、

であるすべての点列について、

　点列が収束するならば、その極限は集合Fに必ず属する

の意味であって、定理の適用を間違っているから。

一般項

　　

で与えられる点列はで1に収束するが、。

したがって、(−1,1)は閉集合でない。

（解答終）

 

 

確認問題２

　　

さて、集合Mは閉集合か。閉集合であればその証明をし、閉集合でなければ、反例をあげよ。

　　

集合Lは閉集合か。

【略解】

M内の点列

　　

は0に収束し、なので、Mは閉集合ではない。

Lは閉集合である。

（略解終）

 

 

発展問題

fを実数全体の集合R上の連続関数とする。このとき、集合

　　

が閉集合であることを示せ。

【解答例】

Aが∅のとき、定義からAは閉集合。

つぎに、Aが空集合でない場合について考える。

とし、この数列の極限点をxとする。

fはR上での連続関数なので、

　　

よって、Aは閉集合である。

（解答終）

 

最も簡単な解答は、次の定理を用いる。

 

定理

fがXからYへの連続写像であることの必要十分な条件は、Yの閉集合Fのfによる逆像がXの閉集合であることである。

 

【別解】

{0}はRの閉集合。また、fはR上の連続関数（連続写像）なので、fによる{0}の逆像

　　

は閉集合。

（別解終）