級数の収束に関するオマケ問題 [数列と級数]
級数の収束に関するオマケ問題
２４日で御用納めにすには早いので・・(^^ゞ
このままでは終われない！！
定理（？）
ならば、
上記の定理（？）を使って、いくつか、問題を解くことにする。
問題１ 次のことを示せ。
【解】
（１） 
とおくと、
したがって、定理より、
（２） 
とおくと、
したがって、定理より、
（解答終）
（１）については、
k≧2のとき、閉区間[k−1,k]で
となるので、
したがって、
ゆえに、
また、
となるので、ハサミ打ちの定理より
と、解くことも可能ですが・・・。
なお、
になることは、
の対数をとったあと、極限をとると
問１ 次のことを示せ。
問２ 次のことを示せ。
ロピタルの定理を使ったら、下の動画に出てくる魔理沙のように息の根を止めてやる！！
問題２ 次のことを示せ。
（１） 
でならば、
（２） 
【略解】
（１） 
の対数をとると、
問題の条件より
また、定理より
よって、
ここで、
（２） 
の対数をとると、
また、
なので、定理より、
も発散する。
したがって、
（略解終）
問３ 定理を使わずに、次のことを示せ。
【軍事ワールド】「攻撃型空母」は日本に誕生するか 海自護衛艦「いずも」改修 産経 [ひとこと言わねば]
【軍事ワールド】「攻撃型空母」は日本に誕生するか 海自護衛艦「いずも」改修https://t.co/xhtr0hFHHF
— 産経ニュース (@Sankei_news) 2018年12月25日
→日本は憲法の制約上、「攻撃型空母」の保有は認められないとしてきた
→「いずも」型の改修案には、カタパルト装備はないことは確実
→改修後の「いずも」は、いったい“何者”になるのか
関数列の問題 [数列と級数]
関数列の問題
問題１ I=[0,1]のとき、
が
で定義されるとする。
このとき、次の問に答えよ。
（１） 関数列
がIの各点で収束することを示せ。
（２） は一様収束か。
（３） 
は成立するか。
【解】
（１） x=0のとき、
なので、1に収束する。
0<x≦1のとき、
になるようにnをとると、
なので、
したがって、
（２） はIで連続であるが、その極限関数f(x)がIで連続でないので、一様収束ではない。
（３）
また、
よって、
（解答終）
（２）のの一様収束か否かの判定には、次の定理１を使っている。
定理１
I上の連続関数列が関数f(x)に一様収束すれば、f(x)はI上で連続である。
また、
で、
だから、
はIで一様収束でないとしてもよい。
問題２
とする。このとき、次の問に答えよ。
（１） [0,1]の各点で収束することを示せ。
（２） 一様に収束するか。
（３） は成立するか。
【解】
（１） x=0のとき、
だから、０に収束する。
0<x≦１のとき、
n→∞のとき2/nx→0なので、ハサミ打ちの定理より
よって、は[0,1]の各点でf(x)=０に収束する。
（２） の増減を調べるために、xで微分すると
したがって、x=1/nのときに、は最大。
したがって、
よって、
である。
なので、は一様収束でない。
（３）
また、
よって、
（解答終）
定理１の逆は一般に成り立たないので、
極限関数f(x)=0が[0,1]で連続だから関数列は[0,1]で一様収束
とするのは間違いなので、注意。
問題３
とする。このとき、次の問に答えよ。
（１） 関数列が[0,1]の各点で収束することを示せ。
（２） 一様収束か。
（３） は成り立つか。
【解】
（１） x=0のとき、
0<x≦1のとき、1/n≦xとなるように自然数nをとると、
したがって、
よって、[0,1]の各点xでf(x)=0に収束する。
（２）
したがって、一様収束でない。
（３）
よって、
また、
だから、
は成立しない。
（解答終）
今日のアニソン、「かんなぎ」から『産巣日の時』 [今日のアニソン]
古事記の中には「青人草」という言葉があり、日本人は「青々としたヒトという草」だにゃ。古事記の宇摩志阿斯訶備比古遅神（うましあしかびひこぢ）のように、自然に「萌え」出た存在。「葦牙（あしかび・葦の芽）の神」の系統。そして、「青人草」の「草」は「葦」のことを指していると考えられる。
つまり、「萌え」は日本人の本質ってわけだケロ。
［ベクトル3重積（内積・外積編）］ [ddt³さんの部屋]
［ベクトル3重積（内積・外積編）］
成分計算をほとんど使わない、ベクトル3重積（内積・外積編）です(^^)。今回は任意次元への一般化はいちおう可能です。どうしてかというと、行列式という「テンソル」を使うからです。先生たちはみ～んな学生達に口をつぐんでいますが、行列式は本当はテンソルなのです。それは行列までしか使わないという、大学初年級の線形代数の作法を破る掟破りなのです、本当は(^^;)。
を示します。ここでa，b，cは3次元のベクトル，・は内積です。
まず外積の成分表示を整理します。
(1)
なんですが、行列式のラプラス展開なる公式が存在します。それはこんなものです。n×nの行列Ａ＝(aij)に対して、
(2)
ここでＡikは、もとの行列Ａのi行とk列を除いた(n－1)×(n－1)行列です。(2)は行列Ａのk列についてのラプラス展開と言われますが、要するにn×n行列の行列式が欲しかったら、その値は一回り小さい(n－1)×(n－1)行列の行列式の値から計算できるよ、という式です。(2)の関係を(2)右辺の|Ａik|に再帰的に用いれば、いつかは2×2以下の行列式の計算に帰着できるので、行列式の理論的証明には頻繁に出てきます。実例をあげますね。
(3)
とします。1×1行列はスカラーなので、スカラーの値をそのスカラーの行列式の値と定義します。そうするとＡikの定義から、
(4)
ですよね？(^^)。よって(3)の1列目についてのラプラス展開は(4)より、
とad－bcに一致します。
同様に、
(5)
の1列目についてのラプラス展開を考えます。
(6)
ですよね？(^^)。(6)と(1)を比較すると、あれれっ？って思いません？。
(7)
になってるじゃないですか！。一方(5)の1列目についてのラプラス展開を書いてやると、
(8)
です。(5)，(6)，(7)，(8)をつなげてやると、a＝(a1，a2，a3)tとすれば、
(9)
という結果になるのでした(^^;)。この関係はネコ先生の記事、
https://nekodamashi-math.blog.so-net.ne.jp/archive/c2306147163-1
の2018-12-15の最後で、自然基底i，j，kに関して述べられているのと本質的に同じものです。
さて、冒頭の関係を得るには行列式の交代性という性質を使います。
・行列式の値は、ある列と別の列（ある行と別の行）を交換すると、符号が反転する。
例えば(9)から、
(10)
ですが、(10)の1列目と2列目を交換すると、
になるという意味です。さらに最右辺で2列目と3列目を交換し、
(11)
最後は再び(9)です。同様に、
(12)
(9)，(10)，(11)をつなげれば、
(13)
が得られます(^^)。
今日のアニソン、「メイドインアビス」から『Deep in Abyss』 [今日のアニソン]
絵を見た感じですと、お子様向けのアニメのようですが、実際はどうなんでしょう。
ED曲はコチラ↓
［ベクトル3重積（外積編）］ [ddt³さんの部屋]
［ベクトル3重積（外積編）］
成分計算をほとんど使わない、ベクトル3重積（外積編）です(^^)。ただし任意次元への一般化は全く考えておりません。この前述べたようにa×記法は3次元以外では通用しないので、それなら3次元の特殊な幾何学事情をフルに使たって良いじゃないか！、という態度です(^^;)。
を示します。ここでa，b，cは3次元のベクトル，(*，*)は内積です。
最初にbとcが平行でなく両方とも0でないとします。b×cは、bともcとも直交し0でないので{b，c，b×c}は3次元空間の基底です。よってaは、
(1)
の形に表せます。α，β，γは適当なスカラーです。(1)の両辺にb×cをかけて内積をとれば外積の性質から、b×cはbともcともa×(b×c)とも直交するので、
(2)
です。b×c≠0だったので、(2)はγ＝0を意味します。従って、
(3)
で十分。(3)の両辺にaをかけて今度は内積をとれば、a×(b×c)はaと直交するので、
(4)
が得られます。(4)よりa×(b×c)は、
(5)
という形です。ξは適当なスカラーですが、要はξ＝1を示せばOKです。
ところでaも、
(6)
の形に表せます。{b，c，b×c}が基底だからです。(6)の両辺にb×cをかけ外積をとれば、(b×c)×(b×c)＝0なので、
(7)
ですが、(7)右辺に現れるb×(b×c)とc×(b×c)は、(5)でaが任意にとれる事に注意すると、
の形でなければなりません。ηとρはb×(b×c)とc×(b×c)の長さが決まれば求まります。そこでb×(b×c)の長さを検討すると、bとcの成す角をθとして、
9)
になります。
何故なら外積の定義から|b×c|2＝|b|2|c|2sin2θ，bとb×cは直交するので|b×(b×c)|2＝|b|2|b×c|2＝|b|2|b|2|c|2sin2θであり、内積の定義から、
を導けるからです。一方(8)右辺を直接2乗してやると（内積の意味で）、
(10)
(9)と(10)は等しいので結局、η＝±1です。次に、(8)上段右辺を（η＝±1とわかったので）、
(11)
と変形します。グラムシュミットの直交化を知ってる人なら、身に覚えがあるはずです。
(b，c)/|b|はcのbへの正射影です。b/|b|はb方向の単位ベクトルです。よって(11)右辺の2項目の()内の符号をかえたものは、bに左回りに直交するベクトルです。しかし外積は右ネジの法則に従うので、b×(b×c)は、bに右回りに直交するベクトルでなければなりません。図中の円弧矢印は、右ネジの法則を表しています。
よってη＝1です。c×(b×c)も同様なので、
とわかります(^^)。(12)を(7)に代入すれば、
(13)
が得られます。後は(13)の未定定数α，βを具体的に定めてやれば、結果を(5)にぶつけてやれるので、ξを決定できるはずです！。
(6)の両辺にb，cをかけて内積をとりましょう。b×cはbにもcにも直交するので、
(14)
とα，βが定まります。(14)でＤ＝|b|2|c|2－(b，c)2は、bとcが平行でなく両方とも0でないのでＤ≠0です。(14)を使えば、(13)の未定定数部分は、
これらの結果を(13)に代入すれば、
(15)
になります。ξ＝1でしたぁ～！。目立たしめでたしぃ～！(^^)。
最後に、bとcが平行であるか、どちらかが0の場合、(15)は明らかに0＝0の形で成立します。
・・・さて、計算の内情をゲロ（告白）しますか(^^;)。
以上の計算は全て基底{b，c，b×c}の係数に関するものでした。という事はじつは「成分計算をほとんど使わない」と言っておきながら、基底{b，c，b×c}に関する表現ベクトルの成分を延々と計算してたんですよ！。そうしながらも最後まで計算の方向性を見失わずに結論になだれ込めたのは、基底ベクトルとしてb×cを選んだからです。b×cを選んだおかげで、bとcが張る平面内で勝負できたからです(^^)。
(1+1/n)^nの収束を示す問題 [数列と級数]
が収束することを示す問題
問題１ x>0のとき、次の不等式が成り立つことを示せ。
ただし、nは、n>1の自然数である。
微分を使うならば、次のように解くのが一般的だろう。
【解答１】
とし、この関数の増減を調べるために微分すると
したがって、増減表は次のようになる。
よって、
ゆえに、
である。
（解答終）
微分を使いたくなければ、
に注目し、次のように解くことができる。
【解答２】
0<x<1のとき、
よって、
x=1のとき、0=0で等号成立。
1<xのとき、
よって、
以上のことをまとめると、
（解答終）
問題２
（１） 前問の不等式を用いて、
が単調増加列、
が単調減少列であることを示せ。
（２） 
であることを示せ。
【解】
（１） nをn>1の自然数、x>0とすると、
である。
を代入すると、
したがって、
よって、
は単調増加列である。
を代入すると、
よって、
したがって、
は単調減少列である。
（２） 
と、は上に有界な単調増加列だから収束する。
また、
だから、
よって、
である。
（解答終）
が収束することを示しているので、
としてもよいのでしょう。
よくまぁ、問題２の（１）のような、うまい方法を思いつくもんだと、ただただ感心するばかり。
この問題が出ていた本には、
と置けと書いてあるだけで、あとは何も書いていないんだけれど・・・。
今日のアニソン番外編、「スカイガールズ」から『Baby's Tears』 [今日のアニソン]
今日のアニソン番外編として、アニメ「スカイガールズ」から『Baby's Tears』です。
でも、このプリキュアの出来損ないみたいな女の子の絵は嫌いだにゃ。だから、内容にかかわらず、こういう絵のアニメは見ないにゃ。それにしても、このアニメに登場する戦闘機は精巧に描かれるのと、ポリゴンのような女の子の絵とのミスマッチは凄いね。
「フレームアームズ・ガール」ですか。
今日のアニソン、「ケロロ軍曹」から『パワードスーツを脱がさないで』 [今日のアニソン]
この当時、「ツンデレ」なんて言葉はなかったけれど、ネムネコは（「デレ無し」も含む）「ツンデレ」系の女子に弱いんだケロ。オレは極めて攻撃的な性格をしていてMっ気は全くないんだけれど、「ツンデレ」系女子には昔から弱くて、超〜甘々。
中３のとき、何故かオレだけ、２人の中１の女子にネムネコは名前で呼び捨てにされた上にタメ口をきかれていたけれど、この２人は可愛くて可愛くてしょうがなかったにゃ。
そういえば、高校のクラスメート女子の何人かはオレを呼び捨てにしていたな〜。
どうも、「コイツならば呼び捨てにしても大丈夫」ということを本能的に察知できる女子はいるみたいだね。特に、お兄ちゃんがいる女の子はこの能力に長けているように思う。どこまでの無茶無体が許されるかを知っているし、顔色、仕草などから敏感に読み取るスキルを持っている。
このアニメのように、お兄ちゃんは、妹、特に年の離れた妹には甘いもんだにゃ。
