ネムネコ、思わず目が点になる（３月２２日）

日曜日の記事にしようと、「定積分の中点公式ってどんな式だったけ。これで良かったかな」と思い、「中点公式 定積分」で検索をかけてみた。
そうしたところ、

と、ネムネコが過去に書いた記事が検索結果のトップに出ていた。

これじゃぁ、何の役にも立たねぇっ！！

思わず、目が点になってしまったケロ。大体、自分が過去に書いた記事なんざぁ〜、読みたかねぇよ。

Googleの検索エンジンは最適化されているから、他のヒトが検索するとどうかは知らない。これはあくまで、ネムネコがネムネコのPCでGoogleの検索エンジンを使って検索した結果。参考までに、Yahooさんの検索エンジン（中身はGoolge）でも検索をかけてみた。ブラウザはネムネコがいつも使っている火キツネ（FireFox）ではなく、Midoriという超マイナーなブラウザを使って検索をかけてみたにゃ。

結果変わらず、１位と３位が、ネムネコが過去に書いた記事。３位は、この「ねこ騙し数学」ではなく、現在、更新を全くしていない「ねむねこ幻想郷」であった。

おいおい、こんなことでいいのかよ。
日本の将来が思いやられてしまう。
と同時に、
ネムネコは、そんなに重い責任を負いたくないにゃ。
もっと気楽に記事を書きたいにゃ。
勘弁して欲しいケロ！！
と思った。

京大や東大の先生が真面目に書いた記事に、ネムネコが、書くネタに困って、「明日、アップする記事がない。どうしよう、どうしよう」とうろたえ、とりあえず間に合わせに、時間稼ぎに書いた適当な記事が勝ってどうする。
ホント、いい加減にして欲しいよね。
こんなことになるんだったら、もっとキチンと書くんであった。

ネムネコは誰にも讃えられたくないにゃ。自画自賛するだけで十分なのに・・・。

厨ニ病くらいで丁度いいのに・・・。
このブログの数学の記事は、すべて、我が⑨の眷属、同胞（はらから）を対象に書かれたもので、不特定多数のヒトに読まれるために作っていない。
だ・か・ら、こんな結果は不本意だ！心外以外の何物でもない！！

くたばれ、マイクロソフト！！

ddt³さんから頂いた数学の記事をこのブログにアップする作業で、ネムネコは死にかけたケロよ。

So-netブログ名物、１記事１０万字制限に引っかかることがわかっているので、まず、いただいた原稿にある多くの数式をできるだけ打ち直す。簡単な式ならば苦にならないけれど、行列を含む式だケロよ。この作業中にまず苛立ちが募り始める。

そして、ブログにアップ。ここででました、１記事１０万字以内制限エラー！！
次に、ブログのエディターにある数式を幾つか削除してみる。そして、「これでどうだ」と「保存ボタン」をクリック。
そして、再び、１０万字エラー。
この作業を何度も繰り返す。
この時点で、ネムネコの苛立ちと怒りは、すでに、ピークに達している。
そして、この作業で削除した式の数、およそ３５。
原稿中にある式の殆どじゃねぇか！！

ネムネコの使っているワープロソフトには、「ウェブブラウザーでプレビュー」という機能があって、プレビュー画面にある式（画像です）を一つ一つ保存しなくちゃいけない。

削除した式をすべて手作業で保存しなければいけない。約３５だから、３５回もこれを繰り返さないといけない。これで済めばいいけれど、そうは問屋が卸してくれない。

ネムネコが打ちなおした式↓

ddt³さんの式↓

このように、画像の大きさが違うんだケロ。

ということで、これを画像ソフトなどを使って、画像編集をしなければならない。

ブラウザー、ワープロソフト、画像編集ソフト、そして、おバカなSo-netブラウザーのブログエディター、この４つのソフトを何度も行ったり来たりしなくちゃならない。もう、頭はグチャグチャ。胃は痛くなるし、「こんなのやってられるか」と深夜に声を上げながら、死ぬような思いで記事にしたにゃ。（明日、明後日、公開予定！！）

あれもこれも、すべては、マイクロソフトが未だに生き残っているからだにゃ。
だから、ネムネコは、大声でこう叫ぶにゃ。

くたばれ、マイクロソフト！！
お前が消えても、困る奴は誰もいやしねぇんだよ！！

昔から言われているけれど、マイクロソフトは諸悪の根源、コンピュータ界のガンのような存在だからね。
ddt³さんが、「これまで使っていた数式エディターが使えなくなった」と言ったあたりから、何か変なことが起き始めた。
古いバージョンの物は使ってはダメ。「Win10で古いのを使うと大変なことが起きるというよ」という、マイクロソフトの陰湿な嫌がらせか(^^ゞ

突然ですが、お前ら、次の問題を解け！！（３月２２日）

突然ですが、お前ら、次の問題を解け！！

 

問題　任意の実数a、bに対して、常に次の関係が成り立つ微分可能な関数f(x)を求めよ。

　　

 

微分や積分をしなくても、勘のいいヒトは、この式を見た瞬間に問題の答がわかるに違いない。

上の式が意味するところは、

y=f(x)、x=a、x=bとx軸に囲まれた図形の面積（赤い色）とハッチング、斜線で表してある台形の面積は等しい

ということ。

 

これを満たす微分可能な関数は、アレしかないわな〜。

 

簡単な問題だろう。

さっと解いて、解いた解答をコメントに書いて、それをネムネコに送信するといいと思うにゃ。

 

 

今日のアニソン、「艦これ」の神通、川内、那珂が踊る『Lamb.』

「艦これ」のリクエストがありましたので、すこし変わったところで、
今日のアニソンは、「艦これ」の神通、川内、那珂が踊る『Lamb.』です。

私は、翔鶴、瑞鶴の２姉妹がお気に入りでした。

同アニメのOP、ED曲はコチラ↓

そして、最初に戻り、川内、神通、那珂の『華の二水戦』を。

ワンポイントゼミ 行列の微分方程式への応用

ワンポイントゼミ　行列の微分方程式への応用

 

§１　連立微分方程式への応用

 

次の連立微分方程式があるとする。

　　

行列を用いてこれを表すと、

　　

２次の正則行列Pをとり

　　

とおき、この両辺をxで微分すると、

　　

これらを（１）に代入すると、

　　

となる。

したがって、行列が相異なる実数の固有値λ₁、λ₂を持つならば、適当な行列Pを用いて

　　

と対角化が可能となり、（２）は次のようになる。

　　

この微分方程式を解くと、

　　

したがって、連立微分方程式の解は

　　

となる。

固有値λ₁、λ₂に対する固有ベクトルをとすると、Pは

　　

したがって、

　　

 

問１　次の連立微分方程式を解け。

　　

【解】

とすると、この行列の固有方程式は

　　

固有値λ=1のとき

　　

よって、その固有ベクトル（の１つ）は

　　

λ=3のとき

　　

よって、

　　

したがって、（６）より

　　

（解答終）

 

【別解】

　　

①−②

　　

①＋②

　　

③と④より、

　　

ここで、

　　

とおくと、

　　

（解答終）

 

１階の連立２元微分方程式を例に取り説明したが、これは１階の連立n元連立方程式

　　

にもそのまま拡張が可能で、係数行列

の相異なる固有値をとし、それに対応する固有ベクトルを、

　　

としたとき、

連立微分方程式の解は

　　

になる。

 

 

§２　２階同次線形微分方程式（定数係数）への応用

 

次の２階の同次線形微分方程式があるとする。

　　

これは

　　

とおくと、上の微分方程式は

　　

となるので、

　　

と、１階の連立微分方程式に書き換えることができる。

行列を用いて、これを書き換えると

　　

したがって、行列の固有値、固有ベクトルを求めることによって、この微分方程式を解くことができる。

 

問２　次の微分方程式を解け。

　　

【解】

　　

したがって、

　　

とおくと、微分方程式は

と書き換えることができる。

とおくと、この固有方程式は

　　

λ=1のとき

　　

よって、固有ベクトル（の１つ）は

　　

λ=2のとき

　　

よって、この固有ベクトルは

　　

したがって、

　　

ゆえに、

　　

（解答終）

 

【別解】

微分方程式の特性方程式

　　

よって、

（解答終）

 

 

ネムネコ式採点法 判別式を使うと減点される おまけ

ネムネコ式採点法　判別式を使うと減点される　おまけ

 

宿題　次の関数の最大値、最小値を求めよ。

　　

【解】

g(x)=a（実数の定数）とおき、

　　

とすると、これを満たす実数xが存在しなければならない。

 

（１）　a=0のとき、x=0。

 

（２）　a≠0のとき、

　　

xに関する２次方程式①の解は実数でなければならないので、その判別式をDとすると、

　　

a≠0だから、

したがって、

　　

でなければならない。

また、

　　

 

以上のことより、

　　

（解答終）

 

a=0のとき、①はxに関する２次方程式でないので、このとき、２次方程式の判別式を用いることはできないことに注意。

 

g(0)=0、g(1)=1/2、・・・、さらに、曲線の対称性

　　

を用い、g(1)=1/2が最大値、g(−1)=−1/2が最小値に違いないと目星をつけて、次のように解答を作ることもできるのでしょう。

 

【別解】

すべての実数xに対して、

　　

したがって、

　　

よって、

　　

（別解終）

 

最大値、最小値の定義を用いた、実に見事な解答！！

そして、

この別解をテストの答案に書いたら、間違いなく、高校の数学の先生の多くは激怒するに違いない(^^ゞ

 

予想し、その予想が正しいことを証明したのだから、この解答にはなんの瑕疵もない。怒るほうがどうかしていると思う。

 

微分法を使う解答は次の通り。

 

【別解２】

　　

 

増減表

x	・・・	−1	・・・	1	・・・
g'(x)	−	0	＋	0	−
g(x)	減少	極小 (−1/2)	増加	極大 (1/2)	減少

 

また、

　　

ゆえに、

　　

（解答終）

 

g(x)の２次導関数

　　

の符号を用いて極値の判定をする方法もあるが・・・。