ワンポイントゼミ 行列の微分方程式への応用

ワンポイントゼミ　行列の微分方程式への応用

 

§１　連立微分方程式への応用

 

次の連立微分方程式があるとする。

　　

行列を用いてこれを表すと、

　　

２次の正則行列Pをとり

　　

とおき、この両辺をxで微分すると、

　　

これらを（１）に代入すると、

　　

となる。

したがって、行列が相異なる実数の固有値λ₁、λ₂を持つならば、適当な行列Pを用いて

　　

と対角化が可能となり、（２）は次のようになる。

　　

この微分方程式を解くと、

　　

したがって、連立微分方程式の解は

　　

となる。

固有値λ₁、λ₂に対する固有ベクトルをとすると、Pは

　　

したがって、

　　

 

問１　次の連立微分方程式を解け。

　　

【解】

とすると、この行列の固有方程式は

　　

固有値λ=1のとき

　　

よって、その固有ベクトル（の１つ）は

　　

λ=3のとき

　　

よって、

　　

したがって、（６）より

　　

（解答終）

 

【別解】

　　

①−②

　　

①＋②

　　

③と④より、

　　

ここで、

　　

とおくと、

　　

（解答終）

 

１階の連立２元微分方程式を例に取り説明したが、これは１階の連立n元連立方程式

　　

にもそのまま拡張が可能で、係数行列

の相異なる固有値をとし、それに対応する固有ベクトルを、

　　

としたとき、

連立微分方程式の解は

　　

になる。

 

 

§２　２階同次線形微分方程式（定数係数）への応用

 

次の２階の同次線形微分方程式があるとする。

　　

これは

　　

とおくと、上の微分方程式は

　　

となるので、

　　

と、１階の連立微分方程式に書き換えることができる。

行列を用いて、これを書き換えると

　　

したがって、行列の固有値、固有ベクトルを求めることによって、この微分方程式を解くことができる。

 

問２　次の微分方程式を解け。

　　

【解】

　　

したがって、

　　

とおくと、微分方程式は

と書き換えることができる。

とおくと、この固有方程式は

　　

λ=1のとき

　　

よって、固有ベクトル（の１つ）は

　　

λ=2のとき

　　

よって、この固有ベクトルは

　　

したがって、

　　

ゆえに、

　　

（解答終）

 

【別解】

微分方程式の特性方程式

　　

よって、

（解答終）