ネムネコ式採点法 判別式を使うと減点される おまけ

ネムネコ式採点法　判別式を使うと減点される　おまけ

 

宿題　次の関数の最大値、最小値を求めよ。

　　

【解】

g(x)=a（実数の定数）とおき、

　　

とすると、これを満たす実数xが存在しなければならない。

 

（１）　a=0のとき、x=0。

 

（２）　a≠0のとき、

　　

xに関する２次方程式①の解は実数でなければならないので、その判別式をDとすると、

　　

a≠0だから、

したがって、

　　

でなければならない。

また、

　　

 

以上のことより、

　　

（解答終）

 

a=0のとき、①はxに関する２次方程式でないので、このとき、２次方程式の判別式を用いることはできないことに注意。

 

g(0)=0、g(1)=1/2、・・・、さらに、曲線の対称性

　　

を用い、g(1)=1/2が最大値、g(−1)=−1/2が最小値に違いないと目星をつけて、次のように解答を作ることもできるのでしょう。

 

【別解】

すべての実数xに対して、

　　

したがって、

　　

よって、

　　

（別解終）

 

最大値、最小値の定義を用いた、実に見事な解答！！

そして、

この別解をテストの答案に書いたら、間違いなく、高校の数学の先生の多くは激怒するに違いない(^^ゞ

 

予想し、その予想が正しいことを証明したのだから、この解答にはなんの瑕疵もない。怒るほうがどうかしていると思う。

 

微分法を使う解答は次の通り。

 

【別解２】

　　

 

増減表

x	・・・	−1	・・・	1	・・・
g'(x)	−	0	＋	0	−
g(x)	減少	極小 (−1/2)	増加	極大 (1/2)	減少

 

また、

　　

ゆえに、

　　

（解答終）

 

g(x)の２次導関数

　　

の符号を用いて極値の判定をする方法もあるが・・・。