考えるネムネコ４かな 続・ヒドイ解答 [数学基礎]
続・ヒドイ解答
ddt³さんから次の問題を頂いた。
問題１ x²＋2y･x＋y＝0 (1)
で、xが任意の実数を動く時のyの範囲を求めよ．
http://nekodamashi-math.blog.so-net.ne.jp/2018-03-13
ということで、問題１を掘り下げてすこし考えてみた。
問題２ 実数の定数aを含む次の２次方程式がある。
x²+2a・x+a=0 （３）
この方程式が実数解を持つ条件を求めよ。
問題２の場合は、aは実定数で動かないから、判別式を使って
D/4=a²−a=a(a−1)≧0
だから、
a≦0またはa≧1
と解くのはもっともなこと。
しかし、問題２の場合、aは実定数で固定されているけれど、問題１の場合、yはxの値に応じて動きますからね〜。
それに、
x²＋2y･x＋y＝0 (1)
は、xの２次方程式じゃなく、xとyの２次方程式だし(^^ゞ
（１）をxの２次方程式として解くためには、y=a（aは実定数）とyの値をaにひとまず固定し（補足）、
と直してから、（３）が実数解を持つのは、
D/4=a²−a=a(a−1)≧0
∴ a≦0またはa≧1 （４）
と解くのが筋ですわね〜。
そして、{a∈R|a≦0またはa≧1｝の任意のaに対して方程式（３）は実数解を持つし、y=aだから、
x²＋2y･x＋y＝0 (1)
が実数解xを持つ条件は
y≦0またはy≧1 （４’）
なんじゃねぇ〜。
（補足）
y=aで固定すると、（１）はx²+2ax+a=0とxの２次方程式になり、この方程式を満足する実数解x₁、x₂（重解のときはx₁=x₂）があれば、求めることができる。右図参照。
「y=aで固定する」ではなく、「ｙを固定し、（１）をxの２次方程式と考えると・・・」でもいいですが・・・。
「yをひとまず固定し考える」という、この、わずかばかりの文言の使用を惜しむから、何をやっているかわからない解答になるんだケロよ！！
このように２次方程式の判別式を使って解くのであれば、いいと思いますけれど、
パブロフのイヌのように条件反射的に２次方程式の判別式を使って解くのは、いただけませんね〜。
（何より、参考書などの解法に忠実な）イヌだから、少し突っ込まれると、すぐにシドロモドロになり、わけのわからないことを口走ったりする。それで終わればまだ可愛いけれど、「こんなこともわからないのか！」、「理屈じゃない、この問題はこうやって解くんだ」と逆ギレまでする始末。救いようがないケロ(^^ゞ
ちなみに、曲線
の正体は双曲線。
単に、この問題を解くだけならば、
y=0のとき、（１）はx²=0だから、x=0
y=1のとき、（１）はx²+2x+1=(x+1)²=0だからx=−1
などと解くことだってできだろう。
――この問題に関しては、２次方程式の判別式なんてそもそも不要！！――
しかし、これじゃ〜、（曲線の）方程式x²+2xy+y=0の具体的なイメージがつかめないから、ダメだと思うにゃ。
だから、ここは泥臭く、（１）をxについて、
と解くのが一番だね。
（高校の数学教師ならば、「yを１や２と同じ数だと思って、xについて解いてご覧」と言うべき）
そうすれば、根号内≧0の条件から
がすぐに出てくる。
（高校の数学教師ならば、「根号内が負になると、xは実数でなくなるよね。だから・・・」と言うべき。そうすれば、質問にきた生徒さんは、「あ〜、なるほど」と納得するに違いない。さらに、「根号内って、判別式と関係があるんじゃなかった？」と言えば、申し分なし。生徒自身にこうしたことを気づかせ、発見させるように、丁寧に、やさしく導くべきだケロ！！）
しかも、具体的なyの値を入れて計算することによって、xがyとともに変わるということだってわかる。
――yについて解く場合については、ddt³さんが書いてあるので、そちらを見るにゃ(^^)――
車いすの宇宙物理学者 ホーキング博士が死去 76歳 NHK [ひとこと言わねば]
【速報 JUST IN 】車いすの宇宙物理学者 ホーキング博士が死去 76歳 BBCなど伝える #nhk_news https://t.co/nAFgZgqrZi
— NHKニュース (@nhk_news) 2018年3月14日
今日のアニソン、「怪盗天使ツインエンジェル」から『おとなになるのですっ！』 [今日のアニソン]
ワンポイントゼミ ２次曲線の標準化 [線形代数の基礎]
ワンポイントゼミ ２次曲線の標準化
§１ O-xy座標系を回転させたO-x'y'座標系
O-xy座標系を原点を中心に反時計回りにθ回転させたO-x'y'座標系があるとする。
O-xy座標系の基本ベクトルは
を原点Oを中心にθ回転させるとその像は
である。
そして、この
がO-x'y'座標系の基本ベクトルである。
この平面上の点PのO-xy座標系における座標を(x,y)、O-x'y'座標系における座標を(x',y')とすると、
（１）式より
となる。
したがって、
また、（３）から
という関係を得られる。
（３）は、O-x'y'座標系からO-xy座標系への座標変換の式であり、（４）はO-xy座標系からO-x'y'座標系への座標変換の式である。
ところで、(x,y)を原点周りにθ回転させたときの１次変換の式は
（３）と（５）、あるいは（４）と（５）は、非常に似ているので、それだけに要注意である。
§２ ２次曲線の標準化
２次曲線
を、座標変換によって
の形に変形することを２次曲線の標準化という。
さてさて、（６）式は行列を用いると、次のように書き換えることができる。
O-xy座標系を原点を中心にθ回転させた座標系をO-XY座標系とする。
とおくと、
よって、（８）式は
となる。
そして、行列の対角化によって
とできるならば（補足）、
と、２次曲線の標準化を行うことができる。
つまり、これは、行列のAの相異なる固有値α、β、そして、それに対応する固有ベクトルを求めれる、Aの固有値問題になる。
問 ２次曲線x²+xy+y²=1を標準化せよ。
【解】
とおくと、Aの固有方程式は
k=3/2のときは、
したがって、固有ベクトルは
である。
k=1/2のとき、
よって、このときの固有ベクトルは
固有ベクトル
を規格化し、
を基底とする座標系O=x'y'を設定すると、O-xy座標系の座標との間には、
という関係がある。
――O-x'y'座標系は、O-xy座標系を原点Oを中心に反時計方向にθ=45°させたものになっている――
これをx²+xy+y²=1に代入すると、
よって、x²+xy+y²=1
である。
（解答終）
α=3/2、β=1/2とした時の形にちゃんとなっているだろう。
（補足）
