スプレッドシート（３月２１日）を公開したにゃ [ひとこと言わねば]
オイラー法で、微分方程式
を解くスプレッドシートを公開した。
公開するほどのものではないけれど・・・。
エクセル版
LibreOffice Calcなどのods形式
クリックすると、ブラウザなどの設定で、ファイルが自動的にダウンロードされるので、注意するにゃ。
マクロ形式でネムネコがウィルスを仕込んでいるかもしれない。大切な個人情報がネムネコに盗まれるかもしれない(^^)
――ネムネコは、VBAなどのマクロを知らないから、仕込みようがない(>_<)――
Web形式のものは
こっちは、ただ表示されるだけだから、大丈夫だと思うにゃ。
より一般の
も解けるようにしようかとも考えたのだけれど、この改良は簡単に行えるはずなので、意欲のあるヒトはチャレンジして欲しい。
正しい答えがどうしてもでないようであれば、コメント欄にその旨を書き、どう変更したのか書いてくれれば、その相談に乗ることに吝（やぶさ）かではない。
僕を震わす この歓声を
裏切ることはしないさ
突然ですが、次の問題を、お前ら、解け！！ [お前らに質問]
突然ですが、
お前ら、次の問題を解け！！
問題１ 次の不定積分を求めよ。
（ヒント）
と分解せよ。
問題２ 次の微分方程式を数値的に解け。
数値積分は、オイラー法を使おうがルンゲ・クッタ法を使おうが、それはまかす。
そして、
できるのなら、厳密解と数値解を比較せよ。
そして、厳密解に基づく方法と数値解法のどちらが簡単か、考察し、考察結果をコメントに書いてネムネコのもとに届けるにゃ。
オイラー法というのは、
のとき、
と、近似解を求める方法。
と等間隔の場合、
ここで、
問題２の場合、
だから、
と逐次的に計算できる。
hは0.1、または、それ以下にとり、x₀=0、y₀=0を出発点とし、x=1くらいまで計算するにゃ。
オイラー法を用いた計算プログラムは、Fortran、Basicなど、このブログ内で幾つか紹介しているのだから、この数値計算をできないとは言わせない。
表計算ソフトを使っても簡単に計算できるし、電卓でだって計算できる。１００円均一で売っている電卓で十分事足りる計算だにゃ。
流石に手計算では辛いものがあると思うが、それでも、n=1、2、３くらいまでだったら、手計算でできるはずだ。
ここまで親切に書いてあるのだから、かならず、やれよな。
そして、計算結果を、コメントに書いて、ネムネコのもとに送信するケロ。
理工系の大学生だったら、いずれ、こうしたことをやらなければならなくなる。物理や工学で出てくる微分方程式は、不定積分を用いて解けないのが普通なのだから。
所要時間１〜２分！！
お手並みを拝見させてもらおうじゃないか！！
ネムネコ式採点法 判別式を使うと減点される 最終回 [高校の微分積分]
ネムネコ式採点法 判別式を使うと減点される 最終回
そもそも、この一連の記事を書き始めたきっかけになったのは直線群の包絡線が絡む問題だったので、包絡線が絡む、次の問題を解くことでこの終わりにしよう。
問題 tが実数のとき、２点P(t,t)とQ(t−1,1−t)を結ぶ直線は、tにかかわりなく１つの放物線に接すること示せ。
この問題は２点P、Qを通る直線がある放物線の接線になるのだから、誰もが２次方程式の判別式を利用することを思いつくのではないか。
ということで、早速、解いてみよう。
【解】
２点P(t,t)とQ(t−1,1−t)を通る直線の方程式は
放物線の方程式y=ax²+bx+cからyを消去するために、①を代入すると、
直線①は放物線y=ax²+bx+cの接線だから、xに関する２次方程式②の判別式D=0でなければならない。
これが任意の実数tについて成立するので、
よって、
ゆえに、
（解答終）
包絡線が何かを知っているヒト向けの解答は次の通り。
【別解】
の両辺をtで偏微分すると、
①に代入し、tを消去すると
（解答終）
第４回 分配法則とド・モルガンの法則 [集合論入門]
第４回 分配法則とド・モルガンの法則
定理８ A、B、Cを任意の集合とするとき、次の関係が成立する。
【証明】
（１） まず、
を証明する。
x∈A∩(B∪C）であるとする。すると、定義より、x∈Aでかつ(x∈B またはx∈C）になる。
で、x∈Aかつx∈B、つまり、x∈A∩Bのとき、
同様に、x∈Aかつx∈C、つまり、x∈A∩Cのとき、
になる。
よって、x∈Bであろうがx∈Cであろうが、
次に、
を証明する。
同様に
よって、
①と②より
（２）
（証明終）
（２）の証明では、次の吸収法則を使っている。
吸収法則が成り立つことは、前回の定理４の（３）と定理６の（３）より明らか。
なぜならば、
A⊂A∪Bだから、定理６の（３）より、A∩（A∪B）=A
A∩C⊂Aだから、定理４の（３）より、A∪（A∩C）=A
であるからである。
定理９（ド・モルガンの法則）
A、B、Cを任意の集合とするとき、次の関係が成り立つ。
【証明】
（証明終）
A、Bが普遍集合Uの部分集合である場合には、次の形のド・モルガンの法則が成り立つ。
定理１０ （ド・モルガンの法則）
問１ 次のことを示せ。ただし、Uは普遍集合とする。
【解】
（１） ド・モルガンの法則より
したがって、
（２） ド・モルガンの法則より
したがって、
（解答終）
問２ AとBが普遍集合Uの部分集合であるとき、Aに関するBの補集合A−Bは
になる。
このことと定理１０を用いて、定理９が成り立つことを示せ。
【解】
（解答終）
