ネムネコ式採点法 判別式を使うと減点される 最終回

ネムネコ式採点法　判別式を使うと減点される　最終回

 

そもそも、この一連の記事を書き始めたきっかけになったのは直線群の包絡線が絡む問題だったので、包絡線が絡む、次の問題を解くことでこの終わりにしよう。

 

問題　tが実数のとき、２点P(t,t)とQ(t−1,1−t)を結ぶ直線は、tにかかわりなく１つの放物線に接すること示せ。

 

この問題は２点P、Qを通る直線がある放物線の接線になるのだから、誰もが２次方程式の判別式を利用することを思いつくのではないか。

ということで、早速、解いてみよう。

 

【解】

２点P(t,t)とQ(t−1,1−t)を通る直線の方程式は

 

放物線の方程式y=ax²+bx+cからyを消去するために、①を代入すると、

直線①は放物線y=ax²+bx+cの接線だから、xに関する２次方程式②の判別式D=0でなければならない。

これが任意の実数tについて成立するので、

よって、

ゆえに、

（解答終）

 

包絡線が何かを知っているヒト向けの解答は次の通り。

 

【別解】

の両辺をtで偏微分すると、

①に代入し、tを消去すると

（解答終）