ねこさん。《次元》って 何なんですか？

「ねこさん。《次元》って　何なんですか？」

 

正確な定義ではないですが、

空間の点を表すのに必要である、最小の、１次独立なベクトルの個数

が、空間の《次元》です。

 

たとえば、xy平面上の任意の点Pの座標を(x,y)、その位置ベクトルをとします。

基底ベクトルは互いに１次独立であり、xy平面上のすべての点は、

　　

との１次関数（線形写像）で表せるので、xy平面という空間は２次元ということになります。

 

同様に、３次元空間のすべての点P(x,y,z)は、１次独立なを用いて

　　

と表せるので３次元。

 

４次元空間のすべての点P(x₁,x₂,x₃,x₄）は、

　　

を用いて、

　　

と表すことができる。

 

ですから、

空間のすべての点が、互いに１次独立なベクトル

　　

を用いて、

　　

と表すことができるとき、その空間はn次元である

ということができます。

 

といことで、

空間のすべての点を表すのに必要な、互いに１次独立であるベクトルの最小の個数がその空間の次元です。

 

うるさいことを言わなければ、

ある空間のすべての点を表すのに必要最小限の座標軸の数といってもいいんでしょう。

 

ただし、２次元平面上や、３次元空間上にある直線は１次元（の図形）ですよ。

直線上の適当な一点を原点Oに選び、右の図のように大きさ１の基底（基本）ベクトルを定めれば、直線上のすべての点Pは、線分OPの長さx（＋、−の符号付きの長さ）と、このを用いて

　　

と表わせますので。

 

（数学的な）空間には特別な座標軸なんてものはありませんので、どこを原点にとり、どの方向に座標軸を設定するかは決まっていません。まさに、座標系の設定は、任意（そのヒトの意思に任せる）、恣意的なものなんです。

ですから、座標系の設定の仕方によって、空間の次元の数が、２や３といった具合に、１つに定まらないので、この恣意性をなくすために、１次独立、最小の個数という枕詞が必要になります。

 

ということで、この例のように、数学でいう次元と我々が日常感覚的にとらえる次元とが食い違う場合があります。

 

この例は直線ですけれど、我々が普通２次元図形と考えている平面上の円も１次元の図形と考えることができます。

だって、円の中心を原点にとれば、半径aの円周上の点はすべて、半径a（定数）と角度θだけで与えられますから。

座標軸は直線でなければならないなんて決まりすら数学にはないんです。例として、極座標などの曲線座標系。

というか、数学の直線は無定義語ですから、直線がウネウネと曲がっていても実は構わないんです（笑）。

どれを直線と呼ぶかは自由。この意味において「数学は自由」です(^^ゞ

まぁ、こっちの方向に進むと非ユークリッド幾何学になり、そして、その先にアインシュタインの一般相対性理論ということになりますが・・・。

 

特に、こうしたことが問題になるのは物理学の力学でいう運動の自由度でしょう。上で述べた理由から、２次元平面における直線運動や円運動などの自由度は１になります。円運動の場合、半径が一定と運動の条件が制限されているので、運動の自由度は２−１=１になってしまう。

こうした運動の制限を、物理、力学では、束縛条件とか呼ぶんじゃなかったかな。

文学、哲学的にこれを言うと、本来、２次元平面上を自由に運動することができるのに、「お前は直線の上にいろ。円周の上にいろ」という制限、強制が加わり、本来の自由が制限されている状態にある、と表現することもできるのでしょう。

そして、哲学的には、空間の《次元》よりは、こうした（運動の）自由度の方が示唆に富んでいるのではないでしょうか。

物理空間がホニャララ次元であるなんて、認識論の一部を除けば、哲学的には瑣末な話でしょう。自由と制限といった自己と他者との関係の方が重要だと思います。

そして、これらは、《次元》よりも関数や関係を支配する諸《変数》（の個数）といった観点からとらえたほうが筋がよいに違いありません。

　――力学でいう運動の自由度、束縛条件などの話は、ddt³さんにお任せします(^^ゞ――

 

脱線しましたが、

プリミティブな空間の次元の概念自体はそれほど難しいものではないと思います。

 

難しいのは、空間の次元（の定義）ではなく、３次元を越える４次元、５次元、・・・n次元という空間ならびに３次元以上の図形をアタマなの中にイメージするなのでしょう。

 

そして、私が考えるに、

地球上に住む生きとし生ける物は、すべて、３次元空間、３次元空間の図形を正確にイメージすることができない！！

左右２つの目それぞれから得られる２つの「２次元の絵」をもとに、脳は擬似的な３次元空間を作ります。脳が作るのは、あくまで擬似的な３次元空間（２次元のモニター画面に描かれる３次元のコンピュータグラフィックスのようなもの、あるいは、ホログラムのようなもの）であって、３次元空間そのものではないですから。

まして、４次元空間、４次元の図形を正確に思い浮かべるなんて絶対にできない。

少なくともヒトは、こうしたことがうまくできないから、上のように、幾何・図形を代数に落とし込み、計算に持ち込みます。こうすれば、誰でも機械的に計算できますから。

 

座標というアイデアを使って、幾何の問題を代数の問題、計算の問題に変えたのが、デカルトです。

 

 

「翔鶴４０ノット伝説」は本当か？

五航戦（翔鶴・瑞鶴）の翔鶴には「翔鶴４０ノット伝説」というものがある。

翔鶴運用長であった福地周夫氏(当時少佐)は「空母翔鶴海戦記」にて30ノットと記載、軍医官・渡辺直寛中尉も最大戦速34.5ノットと記載している。しかし潮機関長は「空母に駆逐艦が置いて行かれてどうする！」という艦長の叱責に対し「釜が爆発寸前の全速(つまり少なくとも38ノット以上を出していた)」と言い返し、さらに炎上する翔鶴が悠々追い抜いて行ったと証言している。
https://goo.gl/nx8Usr

空母「翔鶴」の排水量は、史上最大の戦艦「大和」の約1/2でありながら、機関のパワーは１６万馬力で大和の１５万馬力を上回る。しかも、翔鶴、瑞鶴の鶴姉妹は、「大和」と同様に、海軍の上層部にすらその全貌が明かされていない――レイテ海戦で「大和」を指揮した栗田長官ですら「大和」の主砲の口径が４６ｃｍであることを知らなかったらしい――マル三計画に基づく秘匿鑑で、「大和」よりあとに設計された翔鶴・瑞鶴の鶴姉妹は、あの「大和」同等かそれ以上に、当時の日本の造船技術、軍事技術の粋を集めて作られた船と想像される。翔鶴・瑞鶴の鶴姉妹は、帝国海軍が作った最高傑作と言って間違いない「艦娘」。そんじょそこらの「艦娘」とは、そもそも、モノ、作りが違うにゃ。
このとき、本当に４０ノット出ていたかはともかく、その彼女・翔鶴が、艦載機をほとんど積んでいない、火災や誘爆のおそれのある、燃えやすい航空燃料、爆弾や魚雷を投棄した身軽なボディーで、「沈められるよりはマシ」とばかりに――非常事態であり、エンジンの一つ、二つくらいぶっ壊れても構わない。もう既にいろいろなところが傷んでいる。後先のことを考えない過負荷全速力ならば設計速度より２〜３ノットの速度の上積みが望め、３７ノットくらいは出せたはず(^^ゞ――懸命に逃げるのだから、フル武装した、ヘビーな状態の駆逐艦「潮」がなかなか追いつけなかったという「潮」機関長の証言をあながち嘘とは言えない。武装したトップヘビーな状態であまり無茶すると復原力の弱い駆逐艦は転覆のおそれもあるし、駆逐艦のエンジンと空母などの大型艦に搭載されているエンジンとではモノが違う――空母、戦艦などの大型艦のエンジンは壊れたからすぐに取り替えるということができないので、無茶をしても少々のことでは壊れないように設計されている（はず）。特に、正規空母の長期修理は戦局をのものを大きく左右する――のだから。

太平洋上から作戦可能な米空母がすべて消失したので、この日は最悪の海軍記念日といわれる。戦略的観点からすると、真珠湾攻撃以上の痛手を受けた。太平洋戦争において、戦艦なんて前時代的な艦船は何隻沈んでも、実際のところ、戦術・戦略的には何の痛手にならないけれど、正規空母１隻喪失は戦局そのものを大きく左右するのだから、アメリカ海軍が「最悪の海軍記念日」と嘆くのも当たり前の話。正規空母はそれほど重要なものであり、沈むのはもちろんのこと、簡単に壊れてもらっても困る特別な存在だったのだから、日米ともに、（新型の正規）空母はいろいろな面で過剰スペックの塊の化け物鑑だったことを忘れてはいけないと思うにゃ。

話を戻して、
「けものフレンズ」でトップスピード最速はチーターだけれど、チーターは最高速（約120km/h）を長時間維持できない。このため、トップスピードではチーターに劣るけれれど、トムソンガゼル（約90km/h）さんはチーターさんよりも、長時間、最高速度での走行が可能なので、チーターさんから逃げ切ることができるにゃ。つまり、トップスピードだけじゃなく、（エンジンの）耐久性、持続力なども考えないとダメってこと。

動画の向かって右がトムソンガゼルさん。

狩りが成功するシーンばかり紹介されているけれど、こんなに簡単にガゼルさんはチーターに狩られないケロよ。トムソンガゼルVSチーターの駆けっこ比べで負けるのはチーターさんだにゃ。

「のろまなお前（チーター）なんかには絶対に捕まらない」と、ジャンプし、チーターさんをおちょくり、余裕をかますスプリングボックさん。スプリングボックさんの最高速はガゼルさんよりさらに速く100km/hを越えるから無理もない（笑）。

数年前のことなのだけれど、海上自衛隊の護衛艦に乗っている知り合い（米空母との共同訓練の経験複数回あり）から聞いた話だと、米空母（原子力空母）ってのは、本当に、えらく速いそうだにゃ。
「日本の護衛艦だって（最高速度）３５ノットくらい出るだろう」と、ネムネコが言い返したところ、「そんな速度で（長時間）走り続けたら、エンジンがすぐにぶっ壊れてしまう。護衛艦では（速度で）米空母に勝てないよ」と一笑に付されてしまった。

どうやら、最高速度やエンジンの（最高）出力といった目立つカタログスペックにだけ目を奪われてしまうけれど、そうしたカタログスペックに騙されちゃ〜いけないってことらしい。

上の動画は、「艦娘」で最速とされる駆逐艦「島風」のキャラソン。何でも公開試験で最高速度は４０ノットを超える40.90ノットというレコードを記録し、帝国海軍で最速を誇っていたそうだにゃ。

ラゲールの微分方程式と多項式

ラゲールの微分方程式と多項式

 

yについての２階線形微分方程式

　　

をラゲール（Laguerre）の微分方程式という。

 

ラゲールの微分方程式

　　

の１つの解は、次のn次多項式

　　

である。これをラゲールの多項式という。

　　

 

問題　次のことを示せ。

（１）　はn次の多項式である。

（２）　はラゲールの微分方程式

　　

の解である。

【証明】

（１）　ライプニッツの公式より

　　

 

（２）　とおくと、

　　

この両辺をn+1回微分すると、

　　

また、だから

　　

これを代入すると、

　　

（証明終）

 

ラゲールの多項式については、次の関係が成り立つ。

【証明】

（１）

　　

また、

　　

これを代入すると、

　　

 

（２）

　　

にライプニッツの公式を用いると、

　　

これを代入すると、

　　

 

（３）　を微分すると、

　　

n/xをかけると

　　

（証明終）

 

ライプニッツの公式

関数f、gがn回微分可能ならば

　　

【考えるネムネコ】 一航戦、ニ航戦って本当に凄かったケロか

ネムネコは、ゲーム「艦これ」をやったことがないし、また、ミリオタでもないから、よく知らないのだけれど、ゲーム「艦これ」ファンや（一部の）ミリオタから、空母「赤城」と「加賀」から構成された第一航空戦隊（一航戦）、「飛龍」と「蒼龍」で構成される第２航空戦隊（二航戦）とそのパイロットが神のように崇められているようだにゃ。その根拠の一つが艦爆攻撃の命中率の高さ。

引用元：https://goo.gl/1wBQfy

これを見ると、赤城（一航戦）の艦爆隊の命中率は百発百中に近いけれど、瑞鶴（五航戦）の艦爆隊もの命中率13/14で、この両者の差は僅差であり、ほとんど誤差の範囲。
翔鶴（五航戦）の艦爆隊と飛龍・蒼龍（二航戦）を比較した場合、翔鶴13/18≒0.72に対し二航戦の飛龍・蒼龍は24/36≒0.67で五航戦の翔鶴の方が二航戦の蒼龍艦爆隊よりも命中率はすこし高い。
赤城と飛龍・蒼龍と翔鶴・瑞鶴の鶴姉妹を比較した場合、40/53≒0.75に対し26/32≒0.81で、翔鶴・瑞鶴の鶴姉妹の方が命中率が少し高い。だから、ゲーム「艦これ」ファンや一部のミリオタが言うほど、鶴姉妹の五航戦のパイロットの技量は一航戦や二航戦のパイロットの技量より劣っていなかったんじゃないか。
ただし、これはこの数字が正しければの話だにゃ。ネムネコは、この命中数がかなり水増しされているように思えてならないにゃ。
この海戦で沈んだイギリスの空母ハーミーズは、たかだか、１万トンクラスの小型空母。この小型空母を沈めるのに要した２５０kg爆弾の数は何と３７発。ネムネコは、軍事の専門家・研究者でもなければ、戦史研究者でもないのでわからないけれど、１万トンクラスの空母を沈めるのに、３７発もの２５０ｋｇ爆弾が必要だったのだろうか。命中弾３７発という数は大幅に水増しされているんじゃ〜ないだろうか。

このセイロン沖海戦から４ヶ月ほど経過した第２次ソロモン海戦のお話。翔鶴・瑞鶴の鶴姉妹から米空母エンタープライズは攻撃を受ける。

翔鶴、瑞鶴の2隻から、九九式艦上爆撃機27機、零式艦上戦闘機10機の攻撃隊が米艦隊に接近していた。
（中略）
17時12分から、第16任務群は対空射撃を開始。17時14分に第3エレベーター右舷側前方に250キロ爆弾を被弾。これは徹甲弾でエレベーターの縦穴を12メートル通り抜けた後、兵員居住区まで貫通して炸裂。右舷後部喫水船下に破孔ができ、浸水が発生した。数秒後に1発目の後方5メートル以内に2発目を被弾。これは触発信管で飛行甲板上で炸裂。右舷後部（第3グループ）ガンギャラリーを爆発が襲い、多数の兵員が殺傷し備砲の4分の1が壊滅。飛行甲板にも大きな損傷が発生した。15分に第2エレベーター右舷側後方に3発目を被弾した。これも触発信管であったが、幸運にも不良爆弾だったようで、爆発の威力は低く弾殻はいくつかの大きな破片に別れた。それでも飛行甲板には3メートルの穴が空いた。更に左舷艦尾に至近弾を被弾した。至近弾の衝撃で後部にいたものは60cm～90cm体が持ち上げられた。船殻がへこみ、左舷後部の飛行甲板が一部盛り上がった。17分に攻撃は終了。74名が戦死した。エンタープライズは、大火災発生、第2、第3エレベーター損傷、飛行甲板損傷、右舷水線に2メートルの破孔、右舷へ3度傾斜、という甚大な被害を受けた。引き換えに日本軍は艦爆17機、艦戦3機が撃墜され、艦爆1機不時着という大損害を受けた。エンタープライズではダメージコントロールにより火災が消火され、甲板も修復、左舷への注水で傾斜も回復し、1時間以内に艦載機の発着艦が可能となった。18時50分までに25機が着艦したが、舵が故障し、操舵不能に陥った。駆逐艦バルチと衝突しそうになったが、バルチが前進一杯、エンタープライズが後進一杯を行い、辛うじて回避した。両舷の機関出力調整でも艦をコントロールすることが出来ず、やむ無くエンタープライズは停止した。操舵区画内は約80度の高温であったが懸命の修理により、19時28分に修理が完了した。この修理中の動けない間に日本軍の第2次攻撃隊が接近し、レーダーが「方位270度、距離80km」という至近距離で敵をとらえたが、幸運にも日本軍機はエンタープライズを発見できなかった。
https://goo.gl/zxatFt

２〜３万トンクラスの正規空母エンタープライズですら２５０ｋｇ爆弾を飛行甲板に３発食らうと、その艦内ではさながら地獄のような光景が広がるんだケロよ。珊瑚海海戦で翔鶴・瑞鶴の鶴姉妹の攻撃を受けた際の教訓をもとに様々なダメージコントロールが施されていても、このような凄惨な状態に至ってしまう。
この一発で沈みはしなかったけれど、ミッドウェー海戦においては、４万トンの空母・赤城はアメリカの２５０ｋｇ爆弾一発でゲームセット。この２５０ｋｇ爆弾一発を受け、赤城は、艦内の爆弾や魚雷、航空機用燃料などが次々と誘爆し、艦内はすべて焼きつくされたそうだ。
――この珊瑚海海戦の際に翔鶴も中破し、ダメージコントロールの重要性、必要性が唱えられたらしいが、五航戦と一航戦の確執のためか、この意見は無視され、ミッドウェーでの大敗の一因となる。
そして、中破した翔鶴は４０ノットで戦場を離脱したという「翔鶴４０ノット伝説」を後に生むことになる。中破し、戦場から離脱する翔鶴に置いていかれないように、護衛の駆逐艦が必至についていったという話は、どうやら、事実のようだね。鶴姉妹は、実は、「艦これ」などで最速艦とされる駆逐艦「島風」よりも速い「艦娘」だったのかもしれない(^^ゞ――

この動画↑の２分２０秒すぎのシーンは、珊瑚海海戦での実話が元になっている。このとき、翔鶴は、米空母ヨークタウンの攻撃隊の報告によると、ヨークタウン攻撃隊から爆弾６、魚雷３、さらに、米空母レキシントン攻撃隊の報告によると、レキシントン攻撃隊からさらに爆弾３、魚雷５を命中させられ、タコ殴りにされる。実際に命中したのは、爆弾３発ほどらしいが・・・。

なのに、１万トン足らずの小型空母ハーミーズは２５０kg爆弾が３７発？　極めて引火しやすい航空燃料などの可燃物や爆弾などの爆発物を大量に積んでいるはずなのに、本当(・・?

なにもこうした話は日本だけに限ったものではなく、アメリカ海軍の航空部隊でも同じような話が存在するようだ。

艦（大和）の被害報告を受けていた能村副長（艦橋司令塔・防御指揮所）は魚雷命中12本と回想。中尾（中尉、高射長付。艦橋最上部・防空指揮所）は魚雷14本。戦闘詳報では、魚雷10本・爆弾7発。アメリカ軍戦略調査団は、日本側資料を参考に魚雷10本、爆弾5発。アメリカ軍飛行隊の戦闘報告では、367機出撃中最低117機（戦闘機ヘルキャット15機、戦闘機コルセア5機、急降下爆撃機ヘルダイバー37機、雷撃機アベンジャー60機）が大和を攻撃し、魚雷30-35本、爆弾38発が命中したと主張。第58任務部隊は魚雷13-14本確実、爆弾5発確実と結論づけている。
https://goo.gl/13jbGq

戦艦大和を沈めるのに要した魚雷の数では最小と最大で約３倍の食い違い、爆弾数に至っては７倍ほどの開きがある。

航空部隊による報告による命中数は実際の命中数の３倍になると仮定すると、空母ハーミーズに命中した２５０ｋｇ爆弾の数は約１２で投下した爆弾数は４５となり、一航戦、二航戦、五航戦の混成航空戦隊の命中率は12/45≒0.267≒２７％。護衛戦闘機やまともな対空砲火がない場合の急降下爆撃の命中率は２５％程度だったとされているようだから、この数字は妥当な数字であると思う。そして、このことから、太平洋戦争初期の日本とアメリカの急降下爆撃部隊の実力、命中率は伯仲していたことが予想される。何でも、アメリカのSBDドーントレス急降下爆撃機と比較すると九十九式艦上爆撃機の方が急降下爆撃機としての性能は劣っていたらしいから、日本は、性能の不足分をパイロットの技量でカバーしたということになるんじゃないでしょうか。

なお、真珠湾攻撃の際の九九艦爆の命中率は約４８％くらいだったらしいね。攻撃対象が停泊中の戦艦などの艦船、地上施設などの固定目標で４８％くらいなのに、２０〜３０ノットで回避行動をとっている空母ハーミーズへの命中率が８０％なんて考えられないにゃ。

現に、一航戦の空母「加賀」の急降下爆撃隊９機が１９４１年の３月１日に米給油艦「ペコス」を攻撃した際には、なんと１発しか当てられなかったらしい。精鋭揃いと言われた、「艦これ」や一部のミリオタなどから神のように崇められる加賀の艦攻部隊のこの攻撃の命中率は、何と、1/9≒１１％！！ 最高速１４ノットの低速船で、機銃４門くらいしか対空兵器をもっていない船にだよ。
https://goo.gl/bB8JtX
２航戦の蒼龍も九九艦爆を９機発進させ、こちらは２発命中させたので命中率は2/9≒２２％。加賀、蒼龍合せると命中率は3/18≒１７％。この数字が現実に近い数字だと思うよ。

ということで、「加賀」・「赤城」の一航戦のパイロットの腕は神業だったというのは都市伝説の類（たぐい）だと、ネムネコは思うにゃ。戦（いくさ）の手柄話には尾ひれがつくものだにゃ。しかも、そこにミッドウェー海戦で「加賀」・「赤城」が沈まなければという願望――ハッキリ言って、負け惜しみ！！――が入り、神話化されているからね〜。

今日のアニソン、東方から『にとりとみっく』

今日のアニソンは、東方から『にとりとみっく』です。

さらに、「にとり」のこの曲を♪

第１８回 整列集合

第１８回　整列集合

 

（半）順序集合（A,≦）は、Aの部分集合がかならず最小元（最初の元）をもつとき、整列集合という。また、整列集合は全順序集合である。

整列集合の部分集合および整列集合と順序同型な順序集合は整列集合である。

 

例１　自然数全体の集合をNとするとき、

　　

は整列集合である。

 

例２　有限順序集合は整列集合である。

 

例３　通常の順序（大小関係）において、整数全体の集合Z、有理数全体の集合Q、実数全体の集合Rは、最小元（最初の元）を持たないので、整列集合ではない。

 

例４　は整列集合である。

 

問１　整列集合は全順序集合であることを示せ。

【証明】

（A,≦）を整列集合とし、x、y∈Aとする。X={x,y}はAの空でない部分集合だから、Xは最小元min Xをもつ。

min X=xならばx≦yであり、min X=yならばy≦x。

したがって、任意のx、y∈Aに対して、x≦yまたはy≦xが成り立つ。よって、整列集合は全順序集合である。

（証明終）

 

定理１

（A,≦）が整列集合であり、が順序単射であれば、すべてのx∈Aに対して、

　　

である。

【証明】

が空（集合）でないと仮定する。

Xの最小元をx₀とすると、f(x₀)<x₀であり、fは順序を保つ単射だから

　　

したがって、f(x₀)∈Xであって、f(x₀)はXの最小元x₀よりも小さいので、矛盾が生じる。

したがって、Xは空集合∅である。

（証明終）

 

整列集合（A,≦）の元aに対して、集合｛x∈A｜x<a｝をAの元aによる切片といい、記号A〈a〉などであらわす。

 

例５　とするとき、

 

問２　（A,≦）を整列集合とする。Aの２つの元a、bについてb<aならば、

　　(A〈a〉)〈b〉=A〈b〉

であることを示せ。

【解】

　　(A〈a〉)〈b〉=｛x∈A｜x<aかつx<b｝

問題の条件よりb<aだから、

　　(A〈a〉)〈b〉=｛x∈A｜x<aかつx<b｝=｛x∈A｜x<b｝=A〈b〉

（解答終）

 

 

問３　Aでa∈Aならば、AからA〈a〉への順序単射は存在しないことを示せ。

【証明】

を順序単射とすると、fはAからAへの順序単射だからa≦f(a)でなければならない。

一方、f(a)∈A〈a〉だからf(a)<aとなり矛盾する。

したがって、AからA〈a〉への順序単射は存在しない。

（証明終）

 

問４　次のことを示せ。

（１）　整列集合Aから自分自身への順序同型写像はに限る。

（２）　整列集合Aから順序集合Bへの順序同型写像が存在すれば１つに限る。

（３）　Aが整列集合であって、a、b∈Aであるとき、ならばa=bである。

【証明】

（１）　を順序同型写像とすると、fはAからAへの順序単射だから、x≦f(x)。また、f⁻¹も順序単射だから、x≦f⁻¹(x)となり、f(x)≦x。したがって、f(x)=x。

 

（２）　f、gがともにAからBへの順序同型写像ならばはAからAへの順序同型写像。（１）よりとなり、g=fである。

 

（３）　a<bと仮定する。

B=A〈b〉とすれば、問２よりB〈a〉=A〈a〉。したがって、ならば、整列集合Bからその切片B〈a〉への順序単射が存在することになるが、問３よりBからB〈a〉への順序単射への順序単射は存在しないので矛盾する。

よって、ならばa=bである。

（証明終）

 

定理２　A、Bを整列集合とすれば、次の３つの場合の１つ、しかも１つだけが成立する。

（１）　AとBは同型

（２）　AはBのある切片と同型

（３）　BはAのある切片と同型

【証明】

A、Bの部分集合A₁、B₁をそれぞれ

　

によって定義する。

各元a∈A₁に対して、となるb∈Bはただ１つ存在し、b∈Y₁。

この元をb=φ(a)とおくと、写像φ：A₁→B₁が定まる。φは順序同型写像であり、となる。よって、A₁はAと一致するか、またはXのある切片と一致し、同様にB₁はBと一致するか、またはBのある切片と一致する。

もし、A₁=A〈a〉かつB₁=B〈b〉とすれば

となり、a∈A₁となる。これはa∉A₁に矛盾する。したがって、この定理が主張する（１）、（２）、（３）のいずれかが必ず成り立つことがわかった。

次に、（１）、（２）、（３）のなかの２つの場合が同時に成立しないことを示す。

（２）と（３）が同時に成り立つと仮定し、順序同型が成り立つと仮定すると、合成写像

は順序を保つ写像であり、φ(a)<aである。これは定理１に矛盾する。したがって、（２）と（３）は同時に成り立つことはない。他の場合についても、同様である。

（証明終）

 

定理３　（超限帰納法）

Aを整列集合とし、P(x)をAの元に関する命題とする。

このとき、

　　

が成り立てば、すべてのx∈Aに関してP(x)が成り立つ。

【証明】

P(x)が満たさないx∈Aがあったとして矛盾を導く。

　　

とすれば、XはAの空でない部分集合となる。Aは整列集合であるから、Xは最小元を持つ。それをaとすると、aより小さい元はXに属さないから

　　

が成り立つ。したがって、仮定よりP(a)となる。すなわち、a∉Xとなる。これはa∈Xであることに矛盾する。

（証明終）

 

自然数全体の集合Nに通常の大小関係を与えた整列集合を（N,≦）とする。よく知られた数学的帰納法は、整列集合（N,≦）に関する超限帰納法にほかならない。

 

 

艦娘、凄いケロ（笑）

昨夜、YouTubeにある、ゲーム「艦これアーケード」の動画をいくつか見たのだけれど、艦娘（かんむす）、すごいケロね（笑）。

だって、駆逐艦の豆鉄砲のような主砲で重巡や正規空母を撃沈させてしまうんだもん（笑）。
当たりどころが悪ければ豆鉄砲のような駆逐艦の主砲で重巡や正規空母を撃沈することもできるかもしれないけれど、駆逐艦の主砲で重巡や正規空母を沈めるなんてことはできるはずがないんだから、艦娘は物理などの諸法則を越える超自然の力を持っているにゃ。

南太平洋海戦で、翔鶴・瑞鶴の鶴姉妹の艦載機の攻撃を受け、アメリカの正規空母ホーネットは大破し、航行不能になったんだケロ。そこで、

このころアメリカ軍はホーネットの放棄を決定し、駆逐艦マスティン（英語版）（USS Mustin, DD-413）およびアンダーソン（英語版）（USS Anderson, DD-411）に処分を命じた。マスティンが魚雷8本を打ち込んで6本を命中させ、続いてアンダーソンも8本の魚雷を発射し6本を命中させるもホーネットは沈まず、2隻はさらに5インチ砲弾430発を打ち込んだ。そうこうしている内に、日本艦隊が迫ってきたのでマスティンとアンダーソンは避退していった。
（中略）
日本側は連合艦隊司令部からの命令に従ってホーネットの拿捕曳航を行おうとしたが排水量に差がありすぎ、さらには火災が広範囲に広がっていたことから最終的に断念している。秋雲は12.7センチ砲24発をホーネットに撃ち込んだがホーネットは微動だにせず、爆雷での処分も検討されたが、爆雷の射程が短く断念された。結局、魚雷で処分することとなり、秋雲と巻雲からそれぞれ2本ずつ発射され、3本が命中した。
https://goo.gl/ku8GbN

鶴姉妹によって大破させられ自力航行できなくなり、死に体同然の空母「ホーネット」ですら、駆逐艦の５インチ砲（日本の12.7cm砲に相当）を４００発以上打ち込まれても沈まなかった。日米の正規空母は、重巡と同程度の堅牢さを持っていて、重巡の20cm（8インチ）砲にも耐えられるように設計されていたんだから、当たり前の話。同様に、駆逐艦の豆鉄砲なような主砲だけで重巡を沈めるなんてこともできないにゃ。そもそも、12.7cm砲は徹甲弾ですらないから、駆逐艦や旧式の軽巡などの紙装甲の艦船にしか威力を発揮しない。

戦艦はもっとすごいケロよ。第３次ソロモン海戦の第一夜でアメリカの重巡などから一方的にタコ殴りにされた旧式戦艦の比叡は、大破させられ自力航行できなくなったけれども、それでも沈まなかった。さらに、大破した比叡に止めを刺すためにやってきたエンタープライズの艦載機の雷撃攻撃にも耐え、最終的に比叡を沈めたのは味方の駆逐艦隊による雷撃攻撃だったんだよね。

さらに、艦これの伊８号は、現代の原潜並みの水中を３０ノットくらいで戦場（の水中）を駆けまわれるようだにゃ。爆雷攻撃を受けて大破しても沈まない（笑い）。

敵戦艦の主砲の直撃や魚雷を受けても艦娘の駆逐艦ですらなかなか沈まいないし、大破しても戦場を駆けまわることができて戦闘に参加することすらできてしまう（ただし夜戦の攻撃参加は不可らしい）。こんなチートな設定のゲームをやって楽しいものだろうか。

宇宙戦艦ヤマト的なチートな設定からそろそろ卒業してもいい頃だと思うんですがね〜。

夜戦において敵味方入り乱れる肉弾戦や不意打ちといえる状態ですら、太平洋戦争当時の魚雷の命中率はよくて１〜２割程度。１万メートルくらいになると、命中率は２％以下。日米ともに魚雷は、なかなか、当たらないものだんだにゃ。したがって、艦娘の魚雷攻撃を過大に評価し過ぎだケロ。

重雷装化された球磨型軽巡「北上」や「大井」が、何故、実戦配備されることなく、もっぱら輸送任務に従事せざるを得なかったか、「提督」たちはもっと真剣に考えるべきだと思うにゃ。
艦の左右に２０門、計４０門の魚雷を持っていても、魚雷そのものがなかなか当たらない上に、日本の魚雷は不発や早爆などもよく起きたから、実は張り子の虎だった。おまけに14cm砲４門というしょぼい火力だから、魚雷の有効射程距離に入る前に、敵艦、敵駆逐艦などから一方的にタコ殴りされるのが落ちだと思うにゃ。

今日のアニソン、猫じゃないにゃな軽巡が「Lap Tap Love」

今日のアニソンは、『猫じゃないにゃな軽巡（多摩）が「Lap Tap Love」』です。

球磨（くま）型軽巡第２番艦「多摩」は、１番感の「球磨」ともども「けものフレンズ」だから、取り上げないわけにはいかないにゃ。

そして、「艦これ」の球磨型軽巡一同によるこの曲、動画を♪

［2階常微分方程式（線形系）］

［2階常微分方程式（線形系）］

 

　　

　保存系と並んでなんとかなるのが、線形系です。線形系なら非保存であってもなんとかなります。いっぽう保存系なら、非線形であってもなんとかなります。悩ましいなぁ～(^^;)。

　この前は線形系かつ定数係数という場合をネコ先生にアップして頂きましたが、線形系なら非定数係数であってもなんとかなるはずです。やる事は定数係数の時と、基本的に同じだからです。

　ただし自分はシンプレクティック法大好きなので、ここではシンプレクティック法の精神に則った準シンプレクティック法を使います。参考URLを最後にあげます。

 

　ネコ先生も書いておられるように、この問題(1)は、1階の連立微分方程式にひき直せます。y'＝dy/dt＝pとして、

　　

です。

　ここでシンプレクティック法の精神を発揮して、等速運動させてから等加速度運動させる、に注意しながら(3)を前進差分に持ち込むと以下になります。τはtのステップ幅です。

　　

です。

　　

なので(5)は、

となります。

(6)最右辺の係数行列を、

とすれば、

　　

になります。特にj＝0とすれば、

　　

 

　ここでy(0)＝y₀，p(0)＝p₀とすれば、y_n＝y(nτ)，p_n＝p(nτ)です。よってt＝0からnτ後のy_n，p_nを知りたいのであれば、(9)のＡ₁Ａ₂・・・Ａ_nを計算すれば良い事になります。各Ａ_jは(7)です。そんな事、数値的にはなんぼでもできます。以下はExcelの画面のコピーです。意味は余りにも明らかだと思うので、特に説明しません(^^)。

Excelで計算した結果、n＝20，τ＝0.05，nτ＝1の時、

　　

・・・に、なりました。従って(9)より、

　　

なので、境界条件(2)を代入すると、

　　

です。整理すると、

　　

となります。これより、p₀＝1.391881057となりました。

 

　y(0)＝y₀＝1，p(0)＝p₀＝1.391881057と初期値が決まったので、(4)を使って「準シンプレクティック、行きまぁ～す！」(^^)。

 

　まず(4)の下段をp_j+1について解き、(4)上段と連立させます。

　　

 

　これで準備完了です。y₀＝0，p₀＝1.391881057として(10)を使い、(y₀，p₀)→(y₁，p₁)→・・・→(y₂₀，p₂₀)と追跡して行けば、Excelにより(^^)図-1です。

 

図-1

 

　理論解は、もちろんネコ先生のを使わせてもらいました。理論解は、どうやって出したんですか？(^^;)。この質問をしたくて、この記事を書いたようなもんです（※）。

 

　ちなみに準シンプレクティック法は正式な用語でもなんでもなく、また確立された方法でもありません。でも、けっこういける気がしてます(^^)。

［参考URL］

　http://www.sunagonet.co.jp/wp/wp-content/uploads/2018/01/c774c6cbdbfc66af0583295744d978fa.pdf

 

（執筆：ddt¹さん）

 

（※）　第１５回　２階線形非同次微分方程式の解法２
　　http://nekodamashi-math.blog.so-net.ne.jp/2017-08-24
の問題３の（１）に出ております(^^)

２階線形（非同次）微分方程式の標準化（問題２）という計算のテクニックを使って求めています。まぁ、定数変化法の一種ですね。

 

第１７回 順序集合

第１７回　順序集合

 

§１　順序集合と順序同型

 

集合X上の関係≦が任意のx、y∈Xに対して、次の条件を満たすとき、この関係を順序、または、半順序という。

≦がX上の順序であるとき、(X,≦)を（半）順序集合という。

x≦yかつx≠yであるとき、x<yと書く。

 

(X,≦)、(X',≦')を２つの順序集合とし、fをXからX'への写像とする。任意のx、x'∈Xに対して

　　

が成り立つとき、順序を保つ写像という。

さらに、単射が存在して、fおよびf⁻¹がともに順序を保つ写像であるとき、(X,≦)と(X',≦')とは順序同型であるといい、

　　

で表し、fを順序同型写像という。。

順序同型については、次のことが成り立つ。

　

（ⅰ）は、恒等写像が順序同型写像であることから明らか。

（ⅱ）は、が順序同型写像ならば、が順序同型写像であることによる。

（ⅲ）は、が順序同型写像ならば、が順序同型写像であることにことによる。

 

集合X上の関係≦が（１）〜（３）、さらに次の条件を満たすとき、この順序を全順序という。

　（４）任意のx、y∈Xに対して、x<y、x=y、x>yのいずれか１つが成り立つ

≦がA上の全順序であるとき、順序集合（A,≦）を全順序集合という。

 

自然数全体の集合N、整数全体の集合Z、有理数全体の集合Q、実数全体の集合Rは全順序集合である。

また、全部分集合の部分集合は全部分集合であり、全部分集合と順序同型である順序集合は全部分集合である。

 

自然数全体の集合Nの冪集合において、その元の間にA⊂Bが成立するとき、A≦Bとすれば、

が成立するので、これは上の（半）順序である。

しかし、A=｛1｝、B=｛2}とすると、A⊂B、A=B、A⊃Bのいずれも成立しないので、これは全順序ではない。

 

§２　部分順序集合

（A,≦）を順序集合、BをAの部分集合とする。このとき。Bの元はすべてAの元であるから、Bの元b、b'がAの元としてb≦b'であるとき、b≦'b'とすれば、≦'はBの上の順序になる。

一般に、Aの部分集合Bと、上のように得られる順序≦'とを組み合わせて得られる順序集合（B,≦'）を（A,≦）の部分順序集合という。（B,≦'）が（A,≦）の部分順序集合であることを

　　

と書く。

（B,≦'）⊂（A,≦）である必要十分条件は

　（１）　B⊂A

　（２）　Bの元b、b'に対してb≦'b'ならばb≦b'

 

 

 

 

§２　最大元、最小元、極大元、極小元

 

（A,≦）を順序集合とし、aをAの元とするとするとき、Aの最大元、最小元、極大元、極小元を次のように定義する。

　

Aの最大元、最小元をそれぞれmax A、min Aなどであらわす。最大元、最小元が存在すれば、それらは一意的に定まる。

また、最大元は極大元であるが、この逆は成立しない。最小元、極小元についても同様である。

(X,≦）を順序集合、AをXの部分集合とする。

　　

であるとき、Aは上に有界といい、aをAの上界という。Aの上界の最小のものが存在するとき、それをAの上限といい、記号

　　a=sup A

などであらわす。

同様に、

　　

であるとき、Aは下に有界といい、aをAの下界という。Aの下界の最大のものが存在するとき、それをAの下限といい、記号

a=inf A

などであらわす。

また、Aが上に下に有界であるとき、Aを有界であるという。

 

問　次のことを示せ。

（１）　自然数全体の集合Nと整数全体の集合Zは順序同型でない

（２）　整数全体の集合Zと有理数の全体の集合Qは順序同型でない

（３）　有理数全体の集合Qと実数全体の集合Rは順序同型でない

【解】

（１）　Nは最小元１をもつが、Zは最小限をもたないから

（２）　Qは稠密であるが、Zは稠密でないから。

QからZへの順序同型写像φがあるとし、1と2の原像をそれぞれa、b∈Qとすると、

　　

よって、

　　

であるが1と2の間に存在することになるが、整数全体の集合Zにそのような元は存在しない。

これは矛盾。したがって、ZとQは順序同型でない。

 

（３）　Qは可算集合、Rは非可算集合だから

（解答終）