今日のクラシック、グリンカ作曲『幻想的ワルツ』 [今日のクラシック]
ただ、この曲は、ピアノ原曲よりも、作曲者自身編曲の管弦楽版の方が有名。
どちらも大変優れた曲であることは間違いないのですが、私は、情熱的でドラマティックなピアノ原曲版の方が好きですね。管弦楽版は、作り物めいていて、あざとさを感じてしまうので。また、この曲は、不倫相手の恋人を思って作った曲ですから、激しさと情熱を秘めているピアノ原曲の方がいいに違いありません。
今日のアニソン、「GUNSLINGER GIRL」から『doll』（アンジェリカ Ver.） [今日のアニソン]
第５回 冪集合と集合族 [集合論入門]
第５回 冪集合と集合族
集合Aの部分集合の全体を冪集合（べきしゅうごう）といい、記号
などであらわす。
A=｛1, 2｝とすると、Aの部分集合は
∅, {1}, {2}, {1, 2}
の４つであるから、
である。
問１ A={1, 2, 3}の冪集合を求めよ。
【解】
A={1, 2, 3}の部分集合は
∅, {1} , {2}, {3}, {1, 2} , {1,3}, {2, 3}, {1,2,3}
の８つであるから、
である。
（解答終）
一般に、n個の要素をもつ有限集合Aの冪集合の要素の個数は
である。
問２ 空集合∅の冪集合を求めよ。また∅の冪集合の要素の個数は何個か？
【解】
空集合φの部分集合は、空集合∅のみだから、∅の冪集合は
である。
したがって、空集合∅の冪集合の要素の個数は１個である。
（解答終）
空集合∅の要素の個数は0なので2⁰=1となり、∅の場合にも成り立っていることがわかる。
集合の集まりを集合族という。
空でない、ある集合Λがあり、その要素λ∈Λに対し集合
が定まるとき、
をΛによって添え字づけられた集合族（Λ上の集合族）といい、集合Λを集合族の添字の集合という。
Λを空でない添字の集合、をΛによって添字づけられた集合族とする。すくなくとも１つのに属する要素の全体をこの集合族の和集合といい、
で表す。
また、すべてのに属する要素の全体をの共通部分といい、記号
で表す。
添字の集合Λが自然数全体の集合Nであるとき、集合族
の和集合、共通部分を
などと表記することもある。
何を書いてあるかわからないと思いますが、
集合族の和集合
となるがかならず存在するということを表しており、
集合族の共通部分は、すべてのλ∈Λに対して
であることを表しています。
添字の集合を{1,2}上の集合族A₁、A₂、集合Bがあるとする。
このとき、
と、交換法則が成立する。
同様に、添字の集合Λ上の集合族に対しても、次の交換法則が成立する。
さらに、ド・モルガンの法則は次のようになる。
問 
を次のような集合とするとき、
を求めよ。
【解】
（１）
n=1のとき
となるので、A₁=∅。したがって、
になる。
（２）
（解答終）
（２）の和集合はわかると思うけれど、
となるのはわかりづらいと思う(^^)
すべての自然数nに対して
が成立するので、すべての自然数nに対して
したがって、
が成立する。
もし、1<a∈Rとなるあるaがあり、
であるとすると、全ての自然数nに対して
は有限の値だから、自然数には上限があることになり、自然数に上限（最大数）がないことに矛盾する。
したがって、
1<a∈Rとなるあるaがあり、
となる実数aは存在しない。
だから
である。
