みんなで次の問題を解くにゃ。

みんなで次の問題を解くにゃ。

問題１　u、vを実数とし、x=u+v、y=uv、u²+uv+ｖ²≦1なる３つの式を同時に満たす点(x,y)を図示せよ。

問題２　写像f：(x,y)→(x+y,xy)によって、円のx²+y²=1内部はどこに写されるか。

この問題は、どちらも、ネムネコが高１の時に、学校から配布された教科書傍用問題集にあった問題です。
ネムネコの母校は、タヌキなどの野生動物の方がヒトの数よりも多いのではないかというほどのど田舎にあった高校だにゃ。その高校で教科書傍用問題集として渡された問題集にあった問題ですから、きっと、秒殺してくれるものと信じております(^^)

難しくはないですよ。ただ、受験数学のテクニックが必要かもしれないですね〜。
意外と罠、落とし穴が潜んでいるかもしれない(^^)

ここまでひどくないけれど、ネムネコの故郷は、こんな感じのところだよ。小学校のとき、「のんのんびより」に出てくる学校のように、複式学級だったしね〜。

実家近くでは、タヌキやイタチ、さらに、テンまで出るし（笑）。

さすがに、オコジョはいなかったけれど・・・。

今日のアニソン、『恋のサインをタンジェント』

今日のアニソンは、『恋のサインをタンジェント』です。

恋のSign（Sine）をTangentというわけなんでしょうで、ここは数学のブログなので、「これはどういうことなんだ」と考えこんでしまったにゃ。

［線形代数ってなにさ？_6］

［線形代数ってなにさ？_6］

 

６．基底変換は事の本質を突いている！

　次元数の定義と基底の定義を再記します。

 

［定義-3］

　ベクトル空間Ｖにおいて、独立に取れるベクトルの最大本数をＶの次元と言い、dim(Ｖ)で表す。

 

［定義-4］

　ベクトル空間Ｖの独立なベクトル集合Ｂ＝{e₁，e₂，e₃，・・・，e_n}で、次元に等しい本数を持つものを全て基底と言う。

 

　よって基底の取り方（座標軸の取り方）は、一通りではありません。同じベクトルを一意表現できる基底は、幾通りもある事になります。そして数ベクトル空間（位置ベクトル）を考えてみれば、基底の取り方は無数にあるのがわかります。斜向座標とか御存知ですよね？。

　斜向座標ではありませんが、直交座標系に限っても、基底（座標軸）の取り方は無数にあります。例えば、x²－y²＝-1を考えてみます。これは双曲線ですが、(x＋y)(-x＋y)＝1と因数分解できるので、

　　

と座標変換する事により、ξη＝1という反比例曲線の標準形に持ち込めます。二次形式論の立場では、x²－y²＝-1の方が標準形ですが(^^;)。(1)は、y＝±xを座標軸として双曲線を表すという事です。何故なら、

　　

と書けるので、(1)は45°傾いたxy軸でx²－y²＝-1を考えるという意味になるからです。

　では一般に、どのような座標系を取れば良いのでしょうか？。「取る」とは「あえて採用する」という意味です。理由は「それが最も便利だから！」ですよ。その座標系を採用すると、物事が最も綺麗に（明解に）表せるからに、決まってるじゃないですか。数学は人間の道具です。

　でも、どのような座標系が良いかはケースバイケースです。従って数学のなすべき任務は、どのような座標系を取ったとしても「同じように使える理論を整備する事」だと思えませんか？。

 

　Ｖをベクトル空間として、s：Ｖ→Ｖで基底{v₁，v₂，・・・，v_n}を基底{a₁，a₂，・・・，a_n}に移すものを、（同一ベクトル空間内の）基底変換と呼びます。定義からs(v_j)＝a_j。注意すべきは、基底変換が線形変換であるとはまだ一言も言ってない事です。しかし自然にそう出来ます。

　各a_jもＶのベクトルなので、{v₁，v₂，・・・，v_n}による基底表現が存在します。

　　

　sの定義から(1)は、次と同等です。

　　

　(2)の形は線形変換の定義そのものでした。従って基底変換sは線形な範囲で可能です。右辺の係数行列を例によってＳ^tで表し、基底変換行列と呼びます。sの具体的な形は(1)に決まってます。

　　

　これは意味からです。だって{a₁，a₂，・・・，a_n}を{v₁，v₂，・・・，v_n}で表してる（変換してる）じゃないですか！(^^)。次にベクトルx∈Ｖの基底{a₁，a₂，・・・，a_n}による表現ベクトルを(μ₁，μ₂，・・・，μ_n)^tとします。

　　

　これに(3)を代入し、

　　

となりますが、(μ₁，μ₂，・・・，μ_n)Ｓ^tの部分は、基底{v₁，v₂，・・・，v_n}に関するxの表現ベクトルのはずです。つまり基底(v_j)によるもともとの表現ベクトルを(λ_j)とすれば、

　　

なので(4)と(5)を等置し、例によって移項すれば基底ベクトルの独立性から、

　　

でなければなりません。ここで(3)と(6)を見比べると、ちょっと面白い状況になってる事に気づきませんか？。

 

　そうなんです。基底変換と表現ベクトルの変換が逆向きなんですよ。これは「「１次変換と行列」に「対称移動」を追加」の中で、ネコ先生が「読むな！！」の部分で言っておられた状況の再現です。

 

　以上で線形写像の基底変換に関する挙動を記述できます。

　Ｖ_nとＶ_mをn次元とm次元ベクトル空間、f：Ｖ_n→Ｖ_mを線形とすれば、Ｖ_nの基底を(v_j)，Ｖ_mの基底を(w_j)、それらに対する表現ベクトルを(λ_j)，(η_j)として、

　　

が「線形代数ってなにさ？_3」での結果でした。ここでＡはfの表現行列です。Ｖ_nの中でやったように、Ｖ_mの中でも(t(w_j))＝(b_j)となる基底変換を考え、その基底変換行列をＴとします。さっきの結果から、

　　

であり、

　　

です。(ξ_j)は(b_j)による新しい表現ベクトルです。(6)と(9)を(7)に代入すると、

　　

となり、転置を取って移項すれば、

　　

という事になります。両辺にＴ^-1をかけたいですよね？(^^)。しかしＴの逆行列はあるんでしょうか？。それがあるんです。どうしてかと言うと、Ｔは基底を基底に移す線形変換でした。前回の［系-1］からそのような線形変換は全単射でＴ^-1がなければならないのでした！(^^)。よってＴ^-1は存在します！。

　Ｔはm×m行列，Ａはm×n行列，Ｓはn×n行列です。Ｔ^-1ＡＳが、Ｖ_nで基底変換sをＶ_mで基底変換tを行った時の、線形写像fの表現行列です。このタイプの行列変換：Ａ→Ｔ^-1ＡＳの事を同値変換というそうです（用語の由来は知りません(^^;)）。

　Ｖ_n＝Ｖ_mでＡが線形変換を表す時は、Ａ→Ｓ^-1ＡＳです。相似変換と言います（由来は知りません）。さらに(v_j)と(a_j)が直交基底の時は（直交もなにも説明してませんが）Ｓ^-1＝Ｓ^tになるので、Ａ→Ｓ^tＡＳで合同変換です（だから由来は知りませんってば(^^;)）。

 

　この話を「線形代数ってなにさ？_3」の中でやらなかったのは、Ｔ^-1の存在証明が必要だったからです。行列式も行列演算も連立一次方程式の整備も全部すっ飛ばしてやってるので、Ｔ^-1を一から計算で示すなんて、面倒臭すぎてやってられなかったからです(^^;)。という訳で、逆行列を具体的にどうやって作るのさ？って問題が残ります(^^;)。そこは、

 

　ネコ先生の記事を読んで下さいね！(^^)。

 

　(12)には概念上は重要な含みがあります。線形写像fと表現行列Ａは完全に同じものではなかった、という事実です。fとＡを同じとみなせるのは、Ｖ_nとＶ_mに固定した基底のペアを取った時だけです。なので正式には、「Ｖ_nとＶ_mの基底(v_j)，(w_j)に関する線形写像fの表現行列Ａ」という長ったらしい言い方になります。

　一つのベクトル空間で基底変換を考えた時、基底変換行列は逆行列を持つので正則になります。逆に任意の正則行列を一つの基底に作用させた結果は、基底です。従って一つの基底に任意の正則行列を作用させて得られた基底の全体が、そのベクトル空間の基底全部です。よってＳを任意の正則行列として、Ｓ^-1ＡＳの全体が線形変換fと同じもの（同一視できるもの）である事になります。それがfの事の本質です。