考えるネムネコ４かな 続・ヒドイ解答

続・ヒドイ解答

 

ddt³さんから次の問題を頂いた。

 

問題１　x²＋2y･x＋y＝0　　　(1)

で、xが任意の実数を動く時のyの範囲を求めよ．

 

http://nekodamashi-math.blog.so-net.ne.jp/2018-03-13

 

ということで、問題１を掘り下げてすこし考えてみた。

 

問題２　実数の定数aを含む次の２次方程式がある。

　　x²+2a・x+a=0　　　（３）

この方程式が実数解を持つ条件を求めよ。

 

問題２の場合は、aは実定数で動かないから、判別式を使って

　　D/4=a²−a=a(a−1)≧0

だから、

　　a≦0またはa≧1

と解くのはもっともなこと。

 

しかし、問題２の場合、aは実定数で固定されているけれど、問題１の場合、yはxの値に応じて動きますからね〜。

それに、

　　x²＋2y･x＋y＝0　　　(1)

は、xの２次方程式じゃなく、xとyの２次方程式だし(^^ゞ

 

（１）をxの２次方程式として解くためには、y=a（aは実定数）とyの値をaにひとまず固定し（補足）、

　　x²+2a・x+a=0　　　（３）

と直してから、（３）が実数解を持つのは、

　　D/4=a²−a=a(a−1)≧0

　　∴　a≦0またはa≧1　　（４）

と解くのが筋ですわね〜。

そして、{a∈R|a≦0またはa≧1｝の任意のaに対して方程式（３）は実数解を持つし、y=aだから、

　　x²＋2y･x＋y＝0　　　(1)

が実数解xを持つ条件は

　　y≦0またはy≧1　　（４’）

なんじゃねぇ〜。

 

（補足）

y=aで固定すると、（１）はx²+2ax+a=0とxの２次方程式になり、この方程式を満足する実数解x₁、x₂（重解のときはx₁=x₂）があれば、求めることができる。右図参照。

 

「y=aで固定する」ではなく、「ｙを固定し、（１）をxの２次方程式と考えると・・・」でもいいですが・・・。

「yをひとまず固定し考える」という、この、わずかばかりの文言の使用を惜しむから、何をやっているかわからない解答になるんだケロよ！！

 

このように２次方程式の判別式を使って解くのであれば、いいと思いますけれど、

パブロフのイヌのように条件反射的に２次方程式の判別式を使って解くのは、いただけませんね〜。

（何より、参考書などの解法に忠実な）イヌだから、少し突っ込まれると、すぐにシドロモドロになり、わけのわからないことを口走ったりする。それで終わればまだ可愛いけれど、「こんなこともわからないのか！」、「理屈じゃない、この問題はこうやって解くんだ」と逆ギレまでする始末。救いようがないケロ(^^ゞ

 

さらに、もう一曲！！

ちなみに、曲線の正体は双曲線。

 

単に、この問題を解くだけならば、

　　

y=0のとき、（１）はx²=0だから、x=0

y=1のとき、（１）はx²+2x+1=(x+1)²=0だからx=−1

などと解くことだってできだろう。

　――この問題に関しては、２次方程式の判別式なんてそもそも不要！！――

 

しかし、これじゃ〜、（曲線の）方程式x²+2xy+y=0の具体的なイメージがつかめないから、ダメだと思うにゃ。

だから、ここは泥臭く、（１）をxについて、

　　

と解くのが一番だね。

（高校の数学教師ならば、「yを１や２と同じ数だと思って、xについて解いてご覧」と言うべき）

そうすれば、根号内≧0の条件から

　　

がすぐに出てくる。

（高校の数学教師ならば、「根号内が負になると、xは実数でなくなるよね。だから・・・」と言うべき。そうすれば、質問にきた生徒さんは、「あ〜、なるほど」と納得するに違いない。さらに、「根号内って、判別式と関係があるんじゃなかった？」と言えば、申し分なし。生徒自身にこうしたことを気づかせ、発見させるように、丁寧に、やさしく導くべきだケロ！！）

しかも、具体的なyの値を入れて計算することによって、xがyとともに変わるということだってわかる。

　――yについて解く場合については、ddt³さんが書いてあるので、そちらを見るにゃ(^^)――