ワンポイントゼミ ２次曲線の標準化

ワンポイントゼミ　２次曲線の標準化

 

§１　O-xy座標系を回転させたO-x'y'座標系

 

O-xy座標系を原点を中心に反時計回りにθ回転させたO-x'y'座標系があるとする。

O-xy座標系の基本ベクトルはを原点Oを中心にθ回転させるとその像は

　　

である。

そして、このがO-x'y'座標系の基本ベクトルである。

 

この平面上の点PのO-xy座標系における座標を(x,y)、O-x'y'座標系における座標を(x',y')とすると、

　　

（１）式より

　　

となる。

したがって、

　　

また、（３）から

　　

という関係を得られる。

 

（３）は、O-x'y'座標系からO-xy座標系への座標変換の式であり、（４）はO-xy座標系からO-x'y'座標系への座標変換の式である。

 

ところで、(x,y)を原点周りにθ回転させたときの１次変換の式は

　　

（３）と（５）、あるいは（４）と（５）は、非常に似ているので、それだけに要注意である。

 

 

§２　２次曲線の標準化

 

２次曲線

　　

を、座標変換によって

　　

の形に変形することを２次曲線の標準化という。

 

さてさて、（６）式は行列を用いると、次のように書き換えることができる。

　　

O-xy座標系を原点を中心にθ回転させた座標系をO-XY座標系とする。

　　

とおくと、

　　

よって、（８）式は

　　

となる。

そして、行列の対角化によって

　　

とできるならば（補足）、

　　

と、２次曲線の標準化を行うことができる。

 

つまり、これは、行列のAの相異なる固有値α、β、そして、それに対応する固有ベクトルを求めれる、Aの固有値問題になる。

 

問　２次曲線x²+xy+y²=1を標準化せよ。

【解】

とおくと、Aの固有方程式は

　　

k=3/2のときは、

　　

したがって、固有ベクトルは

　　

である。

k=1/2のとき、

　　

よって、このときの固有ベクトルは

　　

 

固有ベクトルを規格化し、

　　

を基底とする座標系O=x'y'を設定すると、O-xy座標系の座標との間には、

　　

という関係がある。

　――O-x'y'座標系は、O-xy座標系を原点Oを中心に反時計方向にθ=45°させたものになっている――

これをx²+xy+y²=1に代入すると、

　　

よって、x²+xy+y²=1

　　

である。

（解答終）

 

α=3/2、β=1/2とした時の形にちゃんとなっているだろう。

 

（補足）