今日のアニソン、「お前はまだグンマを知らない」から『So Happy』 [今日のアニソン]
グンマ＝だるま弁当
これ以外のイメージがない！！ 当然、「こんにゃく」が名産だということは知っているが・・・。
新潟のご当地アイドル、Negiccoの振るネギはグンマ名産の下仁田ネギであったりと、ネギが取り持つ縁も、新潟とグンマの間にはあるにゃ。
青ざめるネムネコ 不定積分 [微分積分]
青ざめるネムネコ 不定積分
この微分方程式の一般解ってどうなるのかなと思い、解くことを試みる。
三角関数の加法定理を使って、（１）の右辺を
などと分解したら、（１）はまず解けない。
これは
とおくと、
となることを利用し、（１）をzの微分方程式に書き換えて解くのが賢明。
ここで変数分離法を使うと、
さてさて、問題は（２）の左辺の不定積分
をどのように求めるかだ。
そこで、
とおくと、
となるので、（３）は
になる（積分定数は省略）。
ネムネコは、計算力がないので、念の為に、とあるソフト（お絵かきソフト）を使って、（３）の不定積分を求めさせてみた。
すると、
と答えてきた。
（４）と（５）は似ているといえば似ているけれど、（４）と（５）は明らかに別の関数。
「何故に、答えが違うのだ」、「オレの計算のどこが間違っている？」、「オレはこんな不定積分も計算できないのか」と、千々に心乱れ、真剣に思い悩むネムネコ。
（実は、青い曲線をy方向に＋２平行移動させると、両者は一致するのだが・・・）
計算に自信のあるヒトならば、「コンピュータ（お絵かきソフト）が間違っている」と考えるに違いない。
しかし、小学生以下の計算力しか有していないネムネコは、自分の答え（４）に確信が持てない。
頭の中で何度計算しても――計算力がないのに紙と鉛筆は使わない！！――、答えは（４）になってしまう。
「何故に？」と思い切り悩んでしまった。約１時間ほど悩んだ。
そこで、お絵かきソフトに
なる不定積分を計算させてみた。
「いやいや、これはこうだろう」
と、一瞬、思ったのだが、
となるので、
のどちらでもいいんだよね〜。（不定積分の場合、定数分の差は無視される！！）
このことに気づき、ようやく、疑問が氷解した。
したがって、
のどちらでもよい。
そして、微分方程式（１）の一般解は
となる。
（３）の不定積分は、次のように求めることもできる。
右辺の第１項は
右辺の第２項はcos z=tとおくと、
となるので、
したがって、
（いずれも、積分定数は省略）
計算方法によって、（４）、（５）、（６）と見た目の異なる不定積分が得られるというお話。
そして、あなたは、（４）、（５）、（６）が同じものだと見破れるだろうか？
ちなみに、某サイトでは、
と、（５）と同じものを返すようだ。
（５）、（７）の方がメジャー、主流派なのかな(・・?
過去を回想するネムネコ [ひとこと言わねば]
過去を回想するネムネコ
三角関数のとある積分をしていて、次のことを思い出した。
だいぶ前のことだが、某Q＆Aサイトに
の答を教えてほしいといったような質問が寄せられていた。
そこに、参考書か何かに出ている「ホニャララの方法（？）で」とか言って、これを自慢気に解いた回答を送っていた高校生（予備校生(・・?）がいたので、「（コイツのために）この天狗の鼻をへし折ってやろう」と考え、次のようにな回答を書いて、その質問に送ってみた。
ここで、t=cos xとおくと、
となるので、
よって、
こんなに面倒な計算ではなかったような記憶があるので、ひょっとしたら、問題が違っているかもしれないが、
高校の教科書に出ている知識のみをつかって解いた回答を送った。
回答の末尾に「ホニャララの方法とかいう難しい方法を使わずとも、このように簡単に解くことができる」と書き添えてね。
そうしたところ、この天狗の鼻・高校生（予備校生？）が烈火のごとく怒ってきて、そして、この天狗の鼻・高校生とのバトルに発展し、天狗の鼻・高校生がつけてきた難癖をことごとく一蹴してやった。
最後には、国語辞典を引っ張り出し、ネムネコの回答中にある言葉にまで難癖をつけてきた。「このような意味で、この言葉は使わない」なんてね。そこで、ネムネコも負けずに、国語辞典を引っ張りだし、「この意味はネムネコの持っている国語辞典に出ているし、似たような文例まで出ている」と反論してやった。
喧嘩を売る相手が悪すぎるケロ。
オレに喧嘩を売ったら、タコ殴りにされるのが落ちだというのに・・・。
ボコがボコボコにやられる動画はコチラで↓
https://www.youtube.com/watch?v=hgiyv2LGDys
このことがよっぽど悔しかったのだろうか。
この天狗の鼻・高校生（予備校生）が、このQ＆Aサイトの運営側にクレームを付けたようで、翌日、ネムネコの回答ならびに天狗の鼻・高校生の難癖への反論をかいたものだけが全て削除されていた。
これがネムネコが某Q＆Aに送信した回答が削除された初めてのケース！！
「難癖をつけたのは、ネムネコじゃないケロ。ネムネコは、そのクレーム、難癖に答えただけだ。なのに、何故、オレの回答だけ削除されるのだ。天狗の鼻・高校生（予備校生）の回答も同時に削除しろ」と思ったものだった。
少なくとも、ネムネコは、文面の字面の上では、天狗の鼻・高校生（予備校生）を非難中傷する言葉は一切使用していなかったし、感情的な言葉を吐き続け、最後に負け惜しみの言葉を吐いたのは天狗の鼻だったのだから。
どうも、この天狗の鼻は、その後も、自慢げな回答、質問を送り続けていたようで、他の回答者と衝突を繰り返し、最後は誰からも相手にされなくなって、このQ＆Aサイトから去っていったようだけれど・・・。
なお、この不定積分は、
とおくと、
となるので、
としてもよい。
ところで、
この天狗の鼻・高校生（予備校生？）が自慢気に言っていた「面倒な不定積分を簡単に計算できる」というホニャララの方法とは、いったい、いかなる方法なのだろうか。
そんな打出の小槌のような方法があったら、ぜひとも教えてほしいものである（笑）。
今日のアニソン、「刀使ノ巫女」から『進化系Colors』 [今日のアニソン]
微分方程式よもやま話１８ 定数係数の非同次方程式の特殊解 [微分方程式の解法]
微分方程式よもやま話１８ 定数係数の非同次方程式の特殊解
非同次線形微分方程式
がある。
（１）式の左辺が
となることに注目し、
とおけば、（１）は次の１階の線形微分方程式に書き換えることができる。
両辺に
をかけると、
となる。
これを元に戻すと、
この両辺に
をかけると、
ここで、C₁=c₂、C₂=c₁とおくと、
これが（１）の一般解である。
実は、この程度の微分方程式ならば、上のように、基本解や特殊解、さらに、ロンスキー行列式、演算子法といった知識がなくても、上のように、初等的な微分・積分の知識だけで解けてしまう。
ちなみに、ロンスキー行列式を用いた解法の場合、
なので、特殊解は
となり、一般解は
ここで、C₁−1をあらためてC₁とおくと、
となるが・・・。
問 次の微分方程式を解け。
【解】
とおくと、微分方程式は次のように書き換えることができる。
両辺にをかけると
u=y'−yだから、
両辺にをかけると、
ここで、C₁=c₂、C₂=c₁とおくと、
（解答終）
ということで、
微分方程式
の場合は、特殊解に
の形のものを、
そして、
の場合は、
の形の特殊解を選び、これらを左辺に代入し、左辺と右辺の
の係数が一致するようにAの値を定めればよい。
そして、右辺を0とした同次方程式（補助微分方程式）の一般解（余関数）にこれを加えれば、上の２つの非同次方程式の一般解になるのであった。
ということで、問題を１つ。
問題 次の微分方程式を解け。
ロンスキー行列式を使おうが、微分演算子法を使おうが、どのような手段を使おうが構わない。
とにかく、この微分方程式の一般解を求めよ！！
今日のアニソン、ハシビロコウさんの『スイートマジック』 [今日のアニソン]
微分方程式のよもやま話１７ 微分演算子法 [微分方程式の解法]
微分方程式のよもやま話１７ 微分演算子法
定数係数の非同次線形方程式
の特殊解を求める方法に演算子法と呼ばれるものがある。
次の微分演算子を導入すると、
微分方程式（１）は次のように書くことができる。
ここで、
とおけば、（１）は形式的に
と書くことができる。
ここで、Dの多項式φ(D)の逆数（逆演算子）1/φ(D)を次のように定義する。
定義
φ(D)をDの整式とするとき、
を
と満たす関数とする。
この定義から、
であることは明らかであろう。
さてさて、新たに導入した微分演算子Dを用いると、次の定数係数の非同次線形微分方程式
は、次のように書き換えることができる。
ここで、φ(D)=D²+aD+bとおけば、
となる。
そして、この（６）がy''+ay'+by=f(x)の特殊解である！！
ではあるが、（６）は形式的なものであって、実際にこれを用いて（５）の特殊解を求めることはできない。
そこで、次の便利な公式を紹介する。
公式１
この公式を用いると、たとえば、次のような微分方程式の特殊解をすぐに求めることができる。
問１ 次の微分方程式を解け。
【解】
同次形微分方程式y''−y'−2y=0の特性方程式は
よって、同次形方程式の一般解（余関数）
は
微分方程式①は、
と書けるので、特殊解y₀は
よって、①の一般解は
（解答終）
公式（ⅰ）を知っているだけで、問題１のようなタイプの問題は簡単に解けてしまう。
さらに、次の公式を。
ここで、
は実数部、
は虚数部を表す。
どっから、この公式が出てきたという野暮なことを聞いてはいけない。
公式だと割りきって憶えることが重要！！
問２ 次の微分方程式を解け。
【解】
同次方程式y''−2y'+3y=0の特性方程式
よって、同次方程式の一般解は
である。
ここで、
なる微分方程式を考える。
この特殊解は
したがって、
よって、一般解は
（解答終）
⑨の実数部分は
である。
したがって、微分方程式
の一般解は
である。
公式（ⅲ）、（ⅳ）を使わず、上のように解いたほうがいいように思う。
こんな公式なんて絶対に憶えるものじゃない！！
tickさんからいただいた質問の回答 [複素解析]
tickさんから、質問をいただいたので、答えたいと思います。
複素数を用いて極座標における速度、加速度を求める
http://nekodamashi-math.blog.so-net.ne.jp/2017-02-18-1
を微分すると、積の微分公式から
となりますよね。
だから、右辺第１項は
です。
一方、合成関数の微分公式から、u=iθとおくと、
となりますので、（２）の第２項は
となって、以上のことから、（２）は
になります。
オイラーの公式より
ですから、
この内積をとると、
よって両者は直交します。
また、
ですよね。
したがって、
は半径r方向の単位ベクトルで、
は円周θ方向の単位ベクトルになります。
よって、（３）式から、半径方向の速度を
、円周方向の速度を
とすると、
になります。
また、
純粋な数学の問題と考えれば、
チェーンルール（連鎖公式）から
となりますので、
よって、
と、（３）を導くこともできます。
お前らに質問（６月２１日） 微分方程式 [微分方程式の解法]
お前らに質問（６月２１日） 微分方程式
次の微分方程式があるとする。
（１）の右辺を０とした同次形微分方程式（（１）の補助微分方程式という）
の一般解（余関数という）は
なので、（１）の特殊解y₀を見つけられれば、（１）の一般解は
になる。
そこで、（１）の特殊解を
と仮定し、（１）の左辺に代入すると、
となりうまくいかない。
微分方程式
の場合にうまくいったこの方法が、微分方程式（１）の場合はうまくいかないのだ。
さてさて、この場合、特殊解は⑨ではなくどのように仮定したらよいでしょうか。
さらに、
の場合は、どうしたらよいでしょうか。
ひょっとしたら、微分方程式（１）、（３）の解なんてものは存在しないのかもしれない(^^)
