今日のアニソン、「こみっくがーるず」から『Memories』

今日のアニソンは、アニメ「こみっくがーるず」から『Memories』です。

ワンピースにも『Memories』という曲がありますが・・・

円周率の計算 その２

円周率の計算　その２

 

§１　計算法の改良

 

前回、円周率πの近似計算に使用したライプニッツの級数（グレゴリーの公式）

　　

は収束が非常に緩慢であった。

そこで、収束を速くする方法について考えることにする。

 

計算に使用する基礎式は、前回、同様に

　　

 

いま、仮にとすると、

　　

したがって、

　　

そして、上の式と（２）式から次式を得ることができる（（３）式はEulerが発見したもの）。

　　

 

このようにして新たに得られた級数（4）を用いて円周率πを計算してみる。

 

 

　　

と分解し、計算してある。

計算結果を見ればわかる通り、ライプニッツ級数とは異なり、わずか３、４回の計算でπ≒3.14が得られ、しかも、収束の速度が速い。

 

 

§２　マチンの公式

 

のとき、三角関数の倍角公式より

　　

と、tan 4aは1（=tan π/4）に近い値になり、その差は1/119である。

そこで、4aとπ/4の差を求めると、

　　

となる。

したがって、

　　

となる。

このようにして得られた

　　

をマチンの公式と呼び、円周率の（近似）値を求める際によく使用される。

 

（２）にx=1/5、1/239を代入すると、

　　

これを（５）に代入すると、

　　

が得られる。

この右辺の無限級数の部分和を計算することで、円周率πの近似値を求めることができる。

すなわち、

　　

を用いて、円周率πの近似値を求めることができる。

 

（７）の右辺の級数の収束は速く、

　　

と、πのよい近似値を与えることができる。

 

表計算ソフトを使い、（７）式で求めたπの計算結果を下に示す。

 

 

 

（６）の右辺の無限級数の部分和、すなわち、（７）をn=10項まで計算すれば、コンピュータで用いられるπの近似値に到達することがわかる。

 

なお、表中のA、B、Cは次の通り。