お前ら、この問題を解くにゃ 微分積分 [高校の微分積分]
ネムネコが高校生のときに使っていた参考書を覗いていたら、「ちょっと面白い（総合）問題だな」と思う問題を見つけたので、解いてみるといいにゃ。
問題 半径１の半球がある。いま、底面に平行な平面αで切ったとき、２つの部分が等しくなったとする。
（１） xのみたす方程式を導け。
（２） 右のグラフを用いて、xの方程式を求めよ。なお、求め方も述べよ。
（３） （２）で求めたxの近似値を用いて、その値を小数第２位まで正確に求めよ。
カビが生えるほど古い問題でだけど、難しい問題ではないので、チャレンジしてみるといいと思うにゃ。
解けたヒトは、解答をコメント欄に書いて送信すると、ネムネコがそれを清書し（場合によってはグラフなどもつけて）、このブログで紹介するにゃ。
今日のアニソン、「ガールズ＆パンツァー」から『抜刀隊』 [今日のアニソン]
微分方程式のよもやま話２０ 微分演算子法 [微分方程式の解法]
微分方程式のよもやま話２０ 微分演算子法
次の微分方程式がある。
（１）の両辺に
をかけることにより、（１）は次のように解くことができる。
と指数関数の場合、
右辺第２項の積分は、
b≠aのとき、
b=aのとき
となる。
したがって、（１）の微分方程式の一般解は
になる。
（３）の右辺第２項の積分の部分は、公式
を用いて、次のように計算することもできる。
a≠bのとき、
a=bのとき、
微分演算子法を用いると、（３）の右辺第２項の積分をすることなく、代数的に解くことができる。
とはいえ、こうした計算ができるのはf(x)が指数関数のとき。f(x)が多項式関数の場合、こうした計算は許されない。
問１ 次の微分方程式を解け。
【解法１（初等的解法）】
微分方程式の両辺に
をかけると
（解答終）
【解法２（微分演算子法）】
補助微分方程式は
の一般解（余関数）は
微分方程式の特殊解をy₀とすると、
よって、微分方程式の一般解は
（解答終）
（※）
問１はf(x)=xと簡単だから、積分したところでたいして難しくないけれど、f(x)=x²+x+1となったら、この積分は結構面倒くさい。なんとか、この積分の計算をせずにすむ方法はないものかと考えるのは人情だケロ。
そうした要望に答える方法が存在するのであった。
まず、
とテーラー展開（マクローリン展開）するにゃ。
すると、
さらに、
と、積分を一切することなく、
の値（関数か？）を求めることができるのであった。
すごいと思わないケロか？
問２ 次の微分方程式を解け。
【解】
右辺を０とおいた補助微分方程式
の一般解（余関数）は
特殊解をy₀とすると
よって、
（解答終）
あるいは、
などと計算する。
演算子法を用いた解法（特殊解の発見法）の計算が楽か（正確にいえば、答案の形式に書くことが楽か）といえば大いに疑問だけれど、積分することなく、特殊解を見つけることができる。
これらのテーラー展開（マクローリン展開）には
を用いていることは言うまでもない。
