お前ら、この問題を解くにゃ 微分積分

ネムネコが高校生のときに使っていた参考書を覗いていたら、「ちょっと面白い（総合）問題だな」と思う問題を見つけたので、解いてみるといいにゃ。

 

問題　半径１の半球がある。いま、底面に平行な平面αで切ったとき、２つの部分が等しくなったとする。

（１）　xのみたす方程式を導け。

（２）　右のグラフを用いて、xの方程式を求めよ。なお、求め方も述べよ。

（３）　（２）で求めたxの近似値を用いて、その値を小数第２位まで正確に求めよ。

 

カビが生えるほど古い問題でだけど、難しい問題ではないので、チャレンジしてみるといいと思うにゃ。

 

解けたヒトは、解答をコメント欄に書いて送信すると、ネムネコがそれを清書し（場合によってはグラフなどもつけて）、このブログで紹介するにゃ。

 

【解答もどき】

（１）　題意より

 　　

 

（２）　曲線y=x³と直線y=3x−1の交点のx座標は方程式x³−3x+1=0の解になるので、y=x³とy=3x−1の交点を調べればよい（右図参照）。

その交点のx座標をx₀とすると、右のグラフより、1/3<x₀<0.4で、x₀≒1/3。

x≒1/3

 

（３）　ニュートン法を使うならば、

　　

とおくと、

　　

よって、x≒0.34。

（解答もどき終）

 

 

実は、

　　

と変形し、

　　

と計算しても、かなりよい近似値が得られたりして・・・。

 

 

追加問題　次の漸化式で定まる数列がある。

　　

このとき、次の問に答えよ。

（１）　のとき、であることを示せ。

（２）　のとき、数列が収束することを示せ。

 

 

追加問題の数列の極限値をxとすると、

　　

になるんだケロよ。

 

n	x_n
0	0.5
1	0.375
2	0.3509114583
3	0.3477369447
4	0.3473495644
5	0.3473027741
6	0.3472971295
7	0.3472964487
8	0.3472963666
9	0.3472963567
10	0.3472963555