今日のアニソン、「まよチキ！」から『Be Starters!』 [今日のアニソン]
微分方程式よもやま話１５ 特性方程式の解が虚数解の場合 [微分方程式の解法]
微分方程式よもやま話１５ 特性方程式の解が虚数解の場合
定数係数の同次２階線形微分方程式
があるとする。
（１）の特性方程式
の解をα、βとするとき、
（１）の一般解は
で与えられる。ここで、C₁、C₂は任意定数である。
（３）を導出するにあたって、α、βが実数であることを暗黙に仮定していたが、（３）の導出にあたってこの仮定は使っていない。
したがって、α、βが複素数のときにも、
は成立するはずである。
すなわち、
とするとき
であることが要請される。
そこで、オイラーの関係
を用いると、
ここで、
とおけば、
つまり、特性方程式（２）の解がp±iqであるとき、微分方程式（１）の解は
になる。
そして、微分方程式
の一般解であることを、（６）を微分し、（７）式の左辺に代入すれば、この値が０になることから直接確かめることもできる。
問題 （６）が微分方程式（７）の解であることを確かめろ。
なのですが〜、実は、このままでは塩梅が悪い。
というのは、（３）の任意定数C₁、C₂は実数であるけれど、（５）の任意定数C₁、C₂は一般に実数ではなく複素数だからだ。
もし、C₁、C₂が実数だとすると、⑨のBはC₁=C₂以外のとき虚数になってしまう。そして、yは実数だから、C₁=C₂でなければない。
だ・か・ら、
微分方程式（７）の一般解は、
になってしまう。
しかし、
とすると、
そして、これを（７）式の左辺に代入すると、
となり、
、さらに、これを定数倍した
も解である。
ということで、C₁、C₂が実数だとマズいんだケロ。
だから、⑨ではなく、
AとBの実数部分
をとればよい、
といったような説明されるのだが、これでは如何にもご都合主義だろう。
そこで、
は（７）の基本解（基本系）であると同時に、
も基本解（基本系）。
よって、
（７）の一般解は、
である
ということにしておこう。
これならば、疚しさがだいぶ軽減される！！
問題２ 次のロンスキー行列式（ロンスキアン）の値を求めよ。
ただし、p,qは実数で、q≠０とする。
