tickさんからいただいた質問の回答 [複素解析]
tickさんから、質問をいただいたので、答えたいと思います。
複素数を用いて極座標における速度、加速度を求める
http://nekodamashi-math.blog.so-net.ne.jp/2017-02-18-1
を微分すると、積の微分公式から
となりますよね。
だから、右辺第１項は
です。
一方、合成関数の微分公式から、u=iθとおくと、
となりますので、（２）の第２項は
となって、以上のことから、（２）は
になります。
オイラーの公式より
ですから、
この内積をとると、
よって両者は直交します。
また、
ですよね。
したがって、
は半径r方向の単位ベクトルで、
は円周θ方向の単位ベクトルになります。
よって、（３）式から、半径方向の速度を
、円周方向の速度を
とすると、
になります。
また、
純粋な数学の問題と考えれば、
チェーンルール（連鎖公式）から
となりますので、
よって、
と、（３）を導くこともできます。
お前らに質問（６月２１日） 微分方程式 [微分方程式の解法]
お前らに質問（６月２１日） 微分方程式
次の微分方程式があるとする。
（１）の右辺を０とした同次形微分方程式（（１）の補助微分方程式という）
の一般解（余関数という）は
なので、（１）の特殊解y₀を見つけられれば、（１）の一般解は
になる。
そこで、（１）の特殊解を
と仮定し、（１）の左辺に代入すると、
となりうまくいかない。
微分方程式
の場合にうまくいったこの方法が、微分方程式（１）の場合はうまくいかないのだ。
さてさて、この場合、特殊解は⑨ではなくどのように仮定したらよいでしょうか。
さらに、
の場合は、どうしたらよいでしょうか。
ひょっとしたら、微分方程式（１）、（３）の解なんてものは存在しないのかもしれない(^^)
今日のアニソン、「ゼロの使い魔F」から『I'LL BE THERE FOR YOU』 [今日のアニソン]
微分方程式よもやま話１６ ２階の非同次線形微分方程式 [微分方程式の解法]
微分方程式よもやま話１６ ２階の非同次線形微分方程式
次の２階の非同次線形微分方程式がある。
（１）の特殊解をy₀とすると、
となるので、（１）と（２）の差をとると、
となる。
ここで、
とおくと、
になることから、y−y₀は、同次方程式（２）の解である。
したがって、（２）の一般解をuとすると、
よって、
（１）の一般解は
（１）の一般解=（２）の一般解+（１）の特殊解
問１ 次の微分方程式の一般解を求めよ。
【解】
（１）、（２）、（３）の微分方程式の右辺=0とおいた同次微分方程式はいずれも
である。
そして、この同次方程式の一般解は
だから、（１）、（２）、（３）の右辺を満たすような特殊解を求め、①に加えたものが非同次方程式の一般解になる。
（１） y₀=ax+b（a、bは定数）が特殊解だとすると、
したがって、
よって、
は特殊解。
したがって、一般解は
（２） 
が②の特殊解であるとすると、
したがって、②の一般解は
（３）
が特殊解であるとすると、
でなければならない。
したがって、
これを解くと、A=3/10、B=1/10。
よって、
ただし、（１）、（２）、（３）のC₁、C₂はいずれも任意定数。
（解答終）
宿題 次の微分方程式の一般解を求めよ。
答は、言わずもがな！！
上のように、経験と勘を頼りに非同次方程式の特殊解を求めることが嫌な人は、ロンスキー行列式（ロンスキアン）を用いた次の方法がお勧め。
ロンスキー行列式を用いて、非同次方程式の特殊解を見つける方法
非同次方程式
の特殊解y₀は、
同次方程式
の基本解をy₁、y₂とすると、
である。
ここで、
この方法が、最も安全、かつ、確実な方法であるが、ロンスキアンWを求めたあと、積分――ほぼ１００％、部分積分による計算が必要！！――をしなければならないので、計算が大変！！
どうしても特殊解が見つからない時の最終手段といったところ。
問２ 次の微分方程式の一般解を求めよ。
【解】
同次方程式
の基本解は
である。
このロンスキー行列式Wは
（１）
よって、
（２）
よって、
（３）
よって、
（解答終）
ではあるが、どちらが楽かは言うまでもないだろう！！
