微分方程式のよもやま話１９ 初等的解法と演算子法

微分方程式のよもやま話１９　初等的解法と演算子法

 

 

α、βを実数とする。

微分方程式

　　

の初等的な解法について考える。

 

　　

とおくと、（１）は次のように書き換えることができる。

　　

この両辺にをかけると、

　　

これをyの微分方程式に戻すと、

　　

この両辺にをかけると、

　　

β≠αのとき、

　　

ここで、

　　

とおけば、（１）の一般解は

　　

である。

α＝βのとき、

　　

よって、（１）の一般解は

　　

ここで、C₁、C₂は任意定数。

 

したがって、

α≠βの場合は、

　　

α＝βのときは

　　

を計算することにより、特殊解を求めることができる！！

 

さて、次の微分方程式について考える。

　　

これは次の微分演算子

　　

を用いると、次のように書き換えることができる。

　　

したがって、

　　

となる。

ところで、（５）の一般解は

　　

なので、

　　

 

したがって、

　　

となる。

特に、α=βのとき、

　　

 

このようにして求めた（９）、（１０）と（３）、（４）と一致する。

 

ここで

　　

さらに、

　　

とおくと、（９）より、

　　

c≠βのとき

　　

よって、c≠αのとき

　　

となる。

 

前々回の公式

　　

を導くことができた。