お前らに問題(6月9日)!! [高校の微分積分]
お前らに問題(6月9日)!!
簡単な問題だからすぐに解けると思うが・・・。
として、この関数の増減を調べて証明するもよし、どうやって示そうが自由だケロ。
中には、わざわざ、
と変形して解こうとするヒトもいるかもしれない。
さらにぶっ飛んでいるヒトは、
x>0のとき、
として解こうとするかもしれない。
つ・ま・り、この問題は、微分を使わずに、積分を使って解くことだってできる!!
ところで、今日は6月9日だね〜。
69だにゃ。
ということで、
問題を解くまでの間のBGMとしてこの曲をBGMにするといいと思うにゃ。
「69」というマジカルワードを唱えてくれるまで何度でも間違えるそうだにゃ。
同じヒトが何度も同じ箇所を間違えたら怒られるだろうから、Aさんの次は、Bさんが。そして、その次は・・・、なんてことをやるのかね(^^)
今日のクラシック、シベリウス作曲『交響詩フィンランディア』 [今日のクラシック]
この作品も、シベリウスが自国フィンランドの歴史や文化に目覚めた後の作品です。フィンランドは、13世紀ごろから19世紀初頭までスウェーデンの支配下にあり、その後はロシアに服属しました。スウェーデン時代から大公国としての待遇はあったものの、ロシア皇帝ニコライ一世の時代以降自由が次第に奪われ、ロシアの属領化が進みます。それとともに、フィンランドの独立愛国運動が高まりました。そんな中、1899年11月3日から5日にかけて、「報道の記念日」という催しがフィンランド各地で行われました。新聞の発行禁止で職を奪われたジャーナリストたちの年金基金設立を目的として謳っていましたが、言論の自由と民族の団結を訴えるものです。そこで、活人画による舞台劇、『歴史的情景』が上演されることになり、シベリウスはこの劇の伴奏音楽を作曲します。全部で六つの情景から成る作品で、その最後の曲、『フィンランドは目覚める(Suomi herää)』が、交響詩『フィンランディア』の原曲です。ロシア官憲は、愛国心を駆り立てるこのSuomiと題する曲を危険視し、フィンランド国内での演奏を禁止しました。しかし、ロシアの目の届かないほかの国で、『祖国』、『即興曲』のような題名に変えて上演され続けました。
中間部のメロディーは、『フィンランディア讃歌(Finlandia Hymn)』として知られています。のちにこのメロディーだけ歌詞をつけて合唱曲に編曲され、フィンランドの第2の国歌のようになっていますが、フィンランド以外でも別の歌詞をつけて使われました。このメロディーについては議論がありますが、これはあとで改めて触れます。そろそろ曲を聴きたいと思いますので、最も知られた形である、オーケストラのみによる交響詩『フィンランディア』の版をまず取り上げます。曲の構成は明快で、関連性の強いいくつかのモティーフを使った、序奏付きの三部形式のような形の作品です。シベリウス研究家のエルンスト・タンツェンベルガーは、冒頭の金管楽器のモティーフを「苦難のモティーフ」、そのあとに出てくる16分音符の速い連打による金管楽器のモティーフを「闘争の呼びかけのモティーフ」、テンポがアレグロと急速になった箇所で低音に出る同音型の反復を「闘争の呼びかけの第二のモティーフ」、その直後の華やかなモティーフを「祝典へのモティーフ」と説明しています。その後曲は静まり、『フィンランディア讃歌』の中間部に入りますが、このメロディーも、前のモティーフから引き出されたものです。このあとの部分は、第三部というよりは、もうほとんど終始に向かうだけではありますが、二つの「闘争の呼びかけのモティーフ」と「祝典のモティーフ」の三つを組み合わせ、圧縮しながらクライマックスへと向かって行き、最後にふたたび『フィンランディア讃歌』の一くさりが、金管楽器でコラール風に歌い上げられて、曲は終わります。(引用元:ネムネコの秘密の情報源)
そして、ドイツなどの大陸のヨーロッパでは、シベリウスは意外なほどに人気がない。
そのため、カラヤンを除くと、有名どころの指揮者による、シベリウスの曲の録音物は少ないのであった。
上の録音は、1959年、ステレオ初期のもの。
とても、ステレオ初期とは思えない、素晴らしい音質の録音だにゃ。このことは特筆すべきことだと考える。
――まぁ、「オーマンディの録音は毒にも薬にもならない」という際立った個性、特徴があるが・・・――
今日のアニソン、「あそびにいくヨ!」から『Now Loading...SKY!!』 [今日のアニソン]
無限級数の収束・発散の判定2 [数列と級数]
無限級数の収束・発散の判定2
前回にひき続いて、無限級数の収束・発散の判定について話をする。
その下準備として、次の問題を解くことにする。
問題1 次のことを示せ。
【解】
(1) 0<tのときであるから、x>0とすると
とすると、
よって、f(x)は、0<x<1のとき減少、1<xのとき増加となり、x=1のとき極小(最小)。
したがって、
である。
よって、x≧1のとき、
また、
したがって、ハサミ打ちの定理より
(解答終)
y=xは、y=log(1+x)の(0,0)における接線だから、x>0のとき、
でも、もちろん、OK!!
(右図参照)
さらに、「log(1+x)は上に凸の関数だから」というオマジナイを唱えれば、申し分なし!!
(2)は、ロピタルの定理を使えば、
と簡単に求められるが、このブログは、極力、ロピタルの定理を使わないという方針。
では、本題!!
問題2 次のことを示せ。
(1) は収束する。
(2) は収束する。
(3) は発散する。
【解】
(1) 問題1の(1)より
である。
したがって、
は単調増加で、は収束するので、は収束する。
(2) 問題1の(2)より
また、
だから、は単調増加数列で、かつ、
は収束するので、も収束する。
(3)
である。
したがって、
よって、は発散する。
(解答終)