無限級数の収束・発散の判定２

無限級数の収束・発散の判定２

 

前回にひき続いて、無限級数の収束・発散の判定について話をする。

 

その下準備として、次の問題を解くことにする。

 

問題１　次のことを示せ。

【解】

（１）　0<tのときであるから、x>0とすると

　　

 

（２）

　　

とすると、

　　

よって、f(x)は、0<x<1のとき減少、1<xのとき増加となり、x=1のとき極小（最小）。

したがって、

　　

である。

よって、x≧1のとき、

　　

また、

　　

したがって、ハサミ打ちの定理より

　　

（解答終）

 

 

y=xは、y=log(1+x)の(0,0)における接線だから、x>0のとき、

 　　

でも、もちろん、OK！！

（右図参照）

さらに、「log(1+x)は上に凸の関数だから」というオマジナイを唱えれば、申し分なし！！

 

（２）は、ロピタルの定理を使えば、

　　

と簡単に求められるが、このブログは、極力、ロピタルの定理を使わないという方針。

 

 

では、本題！！

 

問題２　次のことを示せ。

（１）　は収束する。

（２）　は収束する。

（３）　は発散する。

【解】

（１）　問題１の（１）より

　　

である。

したがって、

　　

は単調増加で、は収束するので、は収束する。

 

（２）　問題１の（２）より

　　

また、

　　

だから、は単調増加数列で、かつ、

　　

は収束するので、も収束する。

 

 

（３）

　　

である。

　　

したがって、

　　

よって、は発散する。

（解答終）

 

（※）