お前らに問題（６月１０日） 微分方程式 [お前らに質問]
お前らに問題（６月１０日） 微分方程式
微分方程式
ここで、
は、クレーロー形の微分方程式だから、（１）の両辺をxで微分すると、
となるので簡単に解くことができる。
では、微分方程式（１）をすこしだけ変えた
としたらどうであろうか？
ということで、次の問題を解いてもらおうじゃないか！！
問題 次の微分方程式を解け。
微分方程式は、すこし形が変わるだけで解くのが大変になるということを体感してもらおうじゃないか！！
さすがに、微分方程式（２）をノーヒントで解くのは難しいだろうから、少しだけヒント！！
（２）の両辺をxで微分すると、
と変形すると、解けるんじゃ〜ないか。
とすれば線形の微分方程式になるし、⑨の両辺に積分因子pを掛ければ、
になるし・・・。
これで少しだけ終わりが見えてきたと思うにゃ。
微分方程式よもやま話９ クレーロー形の方程式のことなど [微分方程式の解法]
微分方程式よもやま話９ クレーロー形の方程式のことなど
y=x²上の点（x₀,y₀)における接線の方程式は次のようになる。
ここで、p=2x₀とおくと、
というクレーロー形の微分方程式が得られる。
なお、クレーロー形の微分方程式の一般形は
である。
さて、
（１）を解くには、まず、（１）の両辺を微分するとよい。
p'=0のときは、p'=0よりp=c（cは任意定数）となり、（１）式から
これは少し見栄えが悪いので、C=2cとすれば、
y=x²上の点(C,C²)における接線と一致する。
微分方程式（１）はy=x²の接線の方程式から作られたのだから、これは当たり前の結果。
p=2xのとき、
この結果を（１）に代入すると、
したがって、
よって、微分方程式（１）の解は、y=Cx−C²（一般解）とy=x²（特異解）である。
そして、特異解y=x²が一般解のy=Cx−C²の包絡線になっていることは明らかだろう。
さてさて、謎の答案では、次の曲線群の包絡線を判別式を用いて求めた。
すなわち、上の方程式をaの２次方程式、その判別式をDとし、
から包絡線を求めた。
しかし、この解法はどこか気持ち悪いので、包絡線の定義に沿ってこの問題を解くことにする。
求める包絡線の方程式をy=φ(x)とし、包絡線上の点(x₀,φ(₀))における接線の方程式を求めると、
（３）と（４）は同一の方程式にならなければならないから、
この２式からaを消去すると、
このまま解いてもいいけれど、x₀をxに、φ(x₀)=y、さらに、φ'(x₀)=pとおくと、
という微分方程式が得られる。
この微分方程式はクレーロー形の微分方程式だから、両辺をxで微分すると、
p'=0のとき、p=C（定数）。
よって、
これは何かといえば、（３）式で与えられる曲線群に他ならない。
ということで、この解は除外する。
のとき、
（７）を（５）に代入すると、c=0。
よって、
ひょっとしたら、これは（３）の包絡線ではないかもしれないので、（８）を（３）に代入すると、
x=−2aのとき、（３）、（８）ともに、y=−a²となり、方程式（３）と（８）は重根をもつことから、曲線群（３）と曲線（８）は(−2a,−a²)で接する。
というわけで、
が求めるべき包絡線である。
これで判別式を用いた解法の気持ち悪さから解放された(^^)。
