微分方程式よもやま話９ クレーロー形の方程式のことなど

微分方程式よもやま話９　クレーロー形の方程式のことなど

 

 

y=x²上の点（x₀,y₀)における接線の方程式は次のようになる。

　　

ここで、p=2x₀とおくと、

　　

というクレーロー形の微分方程式が得られる。

 

なお、クレーロー形の微分方程式の一般形は

　　

である。

 

さて、

（１）を解くには、まず、（１）の両辺を微分するとよい。

　　

p'=0のときは、p'=0よりp=c（cは任意定数）となり、（１）式から

　　

これは少し見栄えが悪いので、C=2cとすれば、

　　

y=x²上の点(C,C²)における接線と一致する。

微分方程式（１）はy=x²の接線の方程式から作られたのだから、これは当たり前の結果。

p=2xのとき、

　　

この結果を（１）に代入すると、

　　

したがって、

　　

よって、微分方程式（１）の解は、y=Cx−C²（一般解）とy=x²（特異解）である。

そして、特異解y=x²が一般解のy=Cx−C²の包絡線になっていることは明らかだろう。

 

さてさて、謎の答案では、次の曲線群の包絡線を判別式を用いて求めた。

　　

すなわち、上の方程式をaの２次方程式、その判別式をDとし、

　　

から包絡線を求めた。

 

しかし、この解法はどこか気持ち悪いので、包絡線の定義に沿ってこの問題を解くことにする。

 

求める包絡線の方程式をy=φ(x)とし、包絡線上の点(x₀,φ(₀))における接線の方程式を求めると、

　　

（３）と（４）は同一の方程式にならなければならないから、

　　

この２式からaを消去すると、

　　

このまま解いてもいいけれど、x₀をxに、φ(x₀)=y、さらに、φ'(x₀)=pとおくと、

　　

という微分方程式が得られる。

この微分方程式はクレーロー形の微分方程式だから、両辺をxで微分すると、

　　

p'=0のとき、p=C（定数）。

よって、

　　

これは何かといえば、（３）式で与えられる曲線群に他ならない。

ということで、この解は除外する。

のとき、

　　

（７）を（５）に代入すると、c=0。

よって、

　　

ひょっとしたら、これは（３）の包絡線ではないかもしれないので、（８）を（３）に代入すると、

　　

x=−2aのとき、（３）、（８）ともに、y=−a²となり、方程式（３）と（８）は重根をもつことから、曲線群（３）と曲線（８）は(−2a,−a²)で接する。

というわけで、

　　

が求めるべき包絡線である。

 

これで判別式を用いた解法の気持ち悪さから解放された(^^)。