今日のアニソン、「D・N・ANGEL」から『白夜〜True Light〜』

今日のアニソンは、アニメ「D・N・ANGEL」から『白夜〜True Light〜』です。

アニメの方は見たことがないのですが・・・。

［鴉の呟き］その２ 微分方程式

［鴉の呟き］その２　微分方程式

 

さぁ～、ここまで間違って読んでしまったあなた！。あなたなら図-4から、y＝cos(x)やsin(x)のグラフを手に取るように想像できるはずです。しかもcos，sinが周期関数である事も、わかっちゃうはずです！(^^;)。

　そしてdy/dx＝0の点(dy/dx，y)＝(0，±1)に注目します。単調増加／単調減少の矢印を見ると、解は(dy/dx，y)＝(0，±1)をすぅ～と抜けて行きそうに見えます（cos，sinだからそれは正しい）。でもいつもこんなに綺麗でしょうか？。

 

　y＝1－e^-xを考えます。これのエネルギー積分は、dy/dx＝e^-xなので、

　　

です。絵にすると図-5になります。どうやらy＝1は不動点のように見えます。1＜yから単調減少でy＝1に近づき、y＝1を越えれば0≦dy/dxの単調増加領域の入るので、y＝1の不動点に戻るように見えます。これはある意味正しい結論です。(9)の一般解は、y＝1±e^-xだからです。

　図-5の単調減少の経路をたどる解は、x＝－∞でy＝∞，かつx＝∞でy＝1という解y＝1＋e^-xです。単調増加の経路をたどる解は、x＝－∞でy＝－∞，かつx＝∞でy＝1という解y＝1－e^-xです。

　確かにy＝1は不動点なのですが、そこに達するxは無限遠点です。さらに癖の悪い事に、無限遠点で(9)の解は不連続にもなりません。これを漸近線と言います(^^;)。

 

 

　こっから先は、自分の意見です。ものの本で確認した事はありません。

　いまエネルギー積分が、

　　

の形になり、y＝αがf(y)の零点とします。αに十分近いy＝zからy＝αに達する時間Δxは、次式で計算できます。これが反則技の正体です。f(α)＝0ですから、(11)の積分は、広義積分の意味になります。

　　

 

　z≠αなので、y＝zを中心に1/f(y)をテーラー展開します。

　　

　いまy＝αでf(y)＝0なので、1/f(y)の収束半径は|α－z|以内です。テーラー展開の各次数の係数α_jはf(α)＝0である事から、z＝αで0となるzの関数という可能性濃厚です。そこでa_j＝a_j(α－z)と書きます。

 

　(12)を(11)で形式的に積分すれば、

　　

となりますが、右辺の級数が収束する保証は収束半径内です。しかしzはいくらでもαに近づけます。このとき各a_j(α－z)が(α－z)^jより低い次数のオーダーであれば、各項は0に収束します。収束半径内での項別積分はOKなので(13)左辺のyがαに達する直前までは、以上の条件下で(13)右辺の値は非常に0に近いと結論できます。そしてz→αとすれば良い・・・と(^^;)。

　何故ならyがzに達するまでの1/f(y)の積分は、1/f(y)が連続なので有限です。問題は、yがzからαに達するまでの積分値です。その値がz→αの極限で0になるなら、yがαに達するまでの積分値（時間）も有限のはずだぁ～！、という話です(^^)。これをε-δで正当化するのは大変そうですが(^^;)。

　単振動で試してみます。状態点は図-4のy＝1をすぅ～と通過できるでしょうか？。(8)を(11)の形に変形すると、

　　

　

　積分後の右辺各項の最高次の負ベキは、(1－z)^jに対して(1－z²)^j－1/2。最高次の負ベキに対して、

　(9)については、

　

となり微妙ですが、これはlogの発散のはずです。（ネムネコ：はてな、(・・?）

 

　(5)はどうでしょう？。(5)をdy/dxについて解くと、

　　

なので、本質的には、

　　

の形を扱えばOKです。

　積分後の右辺各項の最高次の負ベキは、(α＋z)^jに対して(z³＋α³)^j－1/2ですので、最高次の負ベキに対して、

　　

となります。ここでz→－αの極限を取ると、

　　

ですが、(15)には一つ不備があります。最初からα＝0のケースです。そこで(14)に戻ってα＝0とすると(14)は、

　　

となります。

 

　すなわち図-1で言うと、Ｃ≠0のケースでは状態点(dy/dx，y)は、(0，－(3Ｃ)^1/3)を有限の時間ですぅ～と抜けて行けますが、Ｃ＝0の場合には状態点(dy/dx，y)は(0，0)に達するまで無限の時間が、もしくは(dy/dx，y)が(0，0)にいたら、そこから出ていくには無限の時間がかかります。よって図-2のように、Ｃ＝0の解は「グラフにいない」が正しいと思います。この感触は、反則技でわかりました。

 

　最後に、次のような考察をしてみます。やってみた3つの例から、どうも1/f(y)＝1/yがすぅ～と抜けられるかどうかの境目のような気がしませんか？。そこで1/f(y)＞0が次数のオーダーとして、

　　

だったとします。ただしy＝0でf(0)＝0かつ0≦yです。(16)右辺の積分が、積分区間y＝0→ で発散しないためには、0≦k＜1が必要です。何故ならk＝1の場合は、

　　

　k≠1の場合は、

　　

 

であり、1＜kなら1－k＜0，0≦k＜1なら0≦1－k＜1だからです。

　(16)右辺の積分値が有限なら、当然左辺の1/f(y)の積分値も有限です。1/y^kはパラメータkの変化に対して連続的に変化するだろうから、限界値としてk＝1を与え逆数を取れば、

　　

を得ます。この条件は図-1で言うと、dy/dx＝f(y)の零点付近でdy/dxが、dy/dx＝±yの内側に来る事を意味します。この条件を満たさないのは、図-1ではＣ＝0.0のラインだけです。これもε-δで正当化するのは大変そうですね(^^;)。

 

 

（執筆：ddt³さん）

 

 

 

（ネムネコ：はてな、(・・?）

　　

だから、右辺の級数は収束するのでは？

また、

たとえば、

　　

といったふうに展開しないとまずんじゃないでしょうか。

　　

だと、z=0としたとき、

　　

となって、マクローリン展開

　　

と一致しませんし・・・。

 

もちろん、

　　

とおき、テーラー展開の定義通りに

　　

と計算してもいいのですが・・・。