お前らに問題（６月１７日） 漸化式 [お前らに質問]
お前らに問題（６月１７日） 漸化式
お前らに問題！！
問題 次の漸化式で表される数列の一般項を求めよ。
ヒント：
となるので、
とおくと、①は
になる。
あとは、自分の頭で考えろ！！
今日のクラシック、ファリャ作曲『アトランティーダ』 [今日のクラシック]
作曲技法的には、中期〜後期ロマン派的な作曲技法が用いられているようですが、ファリャならではの、スペイン舞曲のような布のよい鋭いリズムが現れたり、ドイツのロマン派音楽にはない新しい響きも随所に現れていて、聞く者を飽きさせない。これくらいの大曲になると、通常、どこかに弛緩したところがあって、「なんか、たるいな〜」と思ったりするものですが、そういった箇所はないようです。これだけでも、ファリャという作曲家の才能が並々ならぬ非凡なものであったことの証明になるのではないでしょうか。
世俗的なカンタータなども存在しますが、カンタータといえば、キリスト教と深い関係がある宗教的な音楽だから、この『アトランティーダ』もそこはかとなく宗教音楽的なものを感じさせるようです。
ファリャは、単純に印象派の作曲家という分類にはならないですね。最初から印象主義的技法と民族音楽の融合で、独自の様式を作っていますので、もしこれを印象主義に分類するなら、ストラヴィンスキーも、『火の鳥』だけではなく、『ペトルーシュカ』も、そして『春の祭典』でさえも印象主義の語法の延長といえます。しかし、これらの作品には、「原始主義」という別の名称があります。もちろんこれは、技法からくる命名ではなく、題材が古代で、原始的なリズムを強調しているからというだけですが。
ファリャの作品は、技法的にはもちろん印象主義の作曲家の影響はかなりはっきりあります。たとえば、『三角帽子』組曲の、開始から17分20秒当たり以降、ドビュッシーの『イベリア』や、ラヴェルの『スペイン狂詩曲』『ラ・ヴァルス』などとよく似た書法があります。そして、『ラ・ヴァルス』はウィーンへのオマージュなので別ですが、『イベリア』と『スペイン狂詩曲』は、題名が示すように、スペインが題材です。つまり、フランスの印象主義の作曲家が、そもそもスペインの民族音楽の要素を取り入れることが多かったということがあります。それにラヴェルは、父親がスイス人、母親がバスク人ということで、もともとスペイン系です。シャブリエにも、狂詩曲『スペイン』がありますし。また、ファリャの『スペインの庭の夜』なども、技法的にはかなり印象主義的な作品といえます。
『クラブサン協奏曲』も昔から知っているのですが、新古典主義的な作品はこれしかないと思っていました。そもそも作品数があまり多くなく、オペラとバレエが2曲ずつあるほかは、作品表に載っている作品があまりにも少ないのです。ウィキペディアのカタロニア語版に詳しい作品表が出ていますが、やはり、初期の小品や歌曲を除くと、作品は非常に少ないです。未完成に終わって、エルネスト・アルフテルによって完成された舞台用カンタータ『アトランティーダ』というのが新古典的な作品なので、『クラブサン協奏曲』以降、新古典主義に移行したのは間違いないでしょう。
（ネムネコ、秘密の情報源）
『アトランティーダ』という名曲、ともども、この文章は世に埋もれさすのはあまりにもったいなさすぎる！！
今日のアニソン、「チア男子！！」から『初めの一歩』 [今日のアニソン]
微分方程式よもやま話１２ 特性方程式の解が重複解の場合 [微分方程式の解法]
微分方程式よもやま話１２ 特性方程式の解が重複解の場合
微分方程式
の基本解は
であり、したがって、（１）の一般解は
になる。
（１）の特性方程式は
となることから、（１）の基本解が
であることは理解できる。
しかし、何故、
が基本解になるのか、これがなかなか理解できなかった（というか、なかなか納得できなかった）。
とすると、
これらを（１）の左辺に代入すれば、
となり、これからが（１）の解であることはわかる。
多少、計算は複雑となるが、（２）を（１）の左辺に代入することで、（２）が微分方程式（１）の一般解であることを確かめることだって容易にできる。
だが、が（１）の基本解であることが納得できないまま、微分方程式の特性方程式の解がt=αと重解のときは例外で、「このとき、微分方程式の一般解は
になるのだ」と自分に言い聞かせ、記憶したものだった。
のちに少し知恵がつき、次のことに気づいた。
とおくと、（１）は
となる。
（４）は変数分離法を用いて、
u=0のとき、
C₁=0とすればu=0
と簡単に解くことができるが、u=0のときの扱いが少し厄介なので、ここでは違う解法を使おう。
（４）の両辺に
をかけると、
したがって、
これならばu=0のときの場合分けをする必要がなく、変数分離法で解いたときの疚しさが消える。
さてさて、これで（４）の解を求めることができ、これから
という微分方程式を得ることができる。
そして（６）の両辺（？）にをかけると、
ここで、A=C₂、B=C₁とおくと、
が得られる。
このことに気づき、ようやく、（２）が微分方程式（１）の一般解であることに納得したのであった。
「だったら、そう書けばいいだろう」と思うのだが、微分方程式の教科書や演習書にはなぜかこうしたことは書いていない。
ただ、
微分方程式の特性方程式が重解αのときの一般解は
であると書いてあるのみである。
このことは当たり前すぎることで、こうした誰にもわかる低レベルのことは書かないのであろうか？
問 αを0でない実数とするとき、微分方程式
の一般解は
であることを示せ。
また、α=0のときにも、これは成り立つか。
次の定理を用いて解くこともできるが・・・。
定理
y₁、y₂を同次の２階微分方程式
の解とする。
y₁、y₂が基本解であるための必要十分条件は、ロンスキー行列式（ロンスキアン）
が0にならないことである。
また、y₁,y₂が基本解ならば、一般解は
である。
なお、基本解とは、微分方程式の１次独立な解の（組の）ことである。
は微分方程式（１）の解で、
となるので、は互いに１次独立で、微分方程式（１）の基本解。
したがって、（１）の一般解は
となる。
ところで、
ロンスキー行列式W≠0のとき、なぜ、y₁とy₂が１次独立になるのであろうか？
ご存知ですか(^^)
