微分方程式よもやま話１６ ２階の非同次線形微分方程式

微分方程式よもやま話１６　２階の非同次線形微分方程式

 

次の２階の非同次線形微分方程式がある。

　　

（１）の特殊解をy₀とすると、

　　

となるので、（１）と（２）の差をとると、

　　

となる。

ここで、とおくと、

　　

になることから、y−y₀は、同次方程式（２）の解である。

したがって、（２）の一般解をuとすると、

　　

よって、

（１）の一般解は

　　（１）の一般解=（２）の一般解+（１）の特殊解

 

問１　次の微分方程式の一般解を求めよ。

 

【解】

（１）、（２）、（３）の微分方程式の右辺=0とおいた同次微分方程式はいずれも

　　

である。

そして、この同次方程式の一般解は

　　

だから、（１）、（２）、（３）の右辺を満たすような特殊解を求め、①に加えたものが非同次方程式の一般解になる。

 

（１）　y₀=ax+b（a、bは定数）が特殊解だとすると、

　　

したがって、

　　

よって、

　　

は特殊解。

したがって、一般解は

　　

 

（２）　が②の特殊解であるとすると、

　　　

したがって、②の一般解は

　　

 

（３）が特殊解であるとすると、

　　

でなければならない。

したがって、

　　

これを解くと、A=3/10、B=1/10。

よって、

　　

 

ただし、（１）、（２）、（３）のC₁、C₂はいずれも任意定数。

（解答終）

 

宿題　次の微分方程式の一般解を求めよ。

　　

 

答は、言わずもがな！！

 

 

上のように、経験と勘を頼りに非同次方程式の特殊解を求めることが嫌な人は、ロンスキー行列式（ロンスキアン）を用いた次の方法がお勧め。

 

ロンスキー行列式を用いて、非同次方程式の特殊解を見つける方法

非同次方程式

　　

の特殊解y₀は、

同次方程式

　　

の基本解をy₁、y₂とすると、

　　

である。

ここで、

　　

 

この方法が、最も安全、かつ、確実な方法であるが、ロンスキアンWを求めたあと、積分――ほぼ１００％、部分積分による計算が必要！！――をしなければならないので、計算が大変！！

どうしても特殊解が見つからない時の最終手段といったところ。

 

問２　次の微分方程式の一般解を求めよ。

 

【解】

同次方程式

の基本解はである。

このロンスキー行列式Wは

 

（１）

　　

よって、

　　

 

（２）

　　

よって、

　　

 

 

（３）

　　

よって、

　　

（解答終）

 

ではあるが、どちらが楽かは言うまでもないだろう！！