微分方程式よもやま話１８ 定数係数の非同次方程式の特殊解

微分方程式よもやま話１８　定数係数の非同次方程式の特殊解

 

非同次線形微分方程式

　　

がある。

（１）式の左辺が

　　

となることに注目し、

　　

とおけば、（１）は次の１階の線形微分方程式に書き換えることができる。

　　

両辺にをかけると、

　　

となる。

これを元に戻すと、

　　

この両辺にをかけると、

　　

ここで、C₁=c₂、C₂=c₁とおくと、

　　

これが（１）の一般解である。

 

実は、この程度の微分方程式ならば、上のように、基本解や特殊解、さらに、ロンスキー行列式、演算子法といった知識がなくても、上のように、初等的な微分・積分の知識だけで解けてしまう。

 

ちなみに、ロンスキー行列式を用いた解法の場合、

　　

なので、特殊解は

　　

となり、一般解は

　　

ここで、C₁−1をあらためてC₁とおくと、

　　

となるが・・・。

 

 

問　次の微分方程式を解け。

　　

【解】

　　

とおくと、微分方程式は次のように書き換えることができる。

　　

両辺にをかけると

　　

u=y'−yだから、

両辺にをかけると、

　　

ここで、C₁=c₂、C₂=c₁とおくと、

　　

（解答終）

 

ということで、

微分方程式

　　

の場合は、特殊解にの形のものを、

そして、

　　

の場合は、の形の特殊解を選び、これらを左辺に代入し、左辺と右辺のの係数が一致するようにAの値を定めればよい。

そして、右辺を0とした同次方程式（補助微分方程式）の一般解（余関数）にこれを加えれば、上の２つの非同次方程式の一般解になるのであった。

 

ということで、問題を１つ。

 

問題　次の微分方程式を解け。

　　

 

ロンスキー行列式を使おうが、微分演算子法を使おうが、どのような手段を使おうが構わない。

とにかく、この微分方程式の一般解を求めよ！！