青ざめるネムネコ 不定積分

青ざめるネムネコ　不定積分

 

 

この微分方程式の一般解ってどうなるのかなと思い、解くことを試みる。

　　

三角関数の加法定理を使って、（１）の右辺を

　　

などと分解したら、（１）はまず解けない。

これは

　　

とおくと、

　　

となることを利用し、（１）をzの微分方程式に書き換えて解くのが賢明。

　　

ここで変数分離法を使うと、

　　

 

さてさて、問題は（２）の左辺の不定積分

　　

をどのように求めるかだ。

 

そこで、

　　

とおくと、

　　

となるので、（３）は

　　

になる（積分定数は省略）。

 

ネムネコは、計算力がないので、念の為に、とあるソフト（お絵かきソフト）を使って、（３）の不定積分を求めさせてみた。

すると、

　　

と答えてきた。

 

（４）と（５）は似ているといえば似ているけれど、（４）と（５）は明らかに別の関数。

 

 

「何故に、答えが違うのだ」、「オレの計算のどこが間違っている？」、「オレはこんな不定積分も計算できないのか」と、千々に心乱れ、真剣に思い悩むネムネコ。

（実は、青い曲線をy方向に＋２平行移動させると、両者は一致するのだが・・・）

 

計算に自信のあるヒトならば、「コンピュータ（お絵かきソフト）が間違っている」と考えるに違いない。

しかし、小学生以下の計算力しか有していないネムネコは、自分の答え（４）に確信が持てない。

頭の中で何度計算しても――計算力がないのに紙と鉛筆は使わない！！――、答えは（４）になってしまう。

「何故に？」と思い切り悩んでしまった。約１時間ほど悩んだ。

 

そこで、お絵かきソフトに

　　

なる不定積分を計算させてみた。

　　

「いやいや、これはこうだろう」

　　

と、一瞬、思ったのだが、

　　

となるので、

　　

のどちらでもいいんだよね〜。（不定積分の場合、定数分の差は無視される！！）

 

このことに気づき、ようやく、疑問が氷解した。

したがって、

　　

のどちらでもよい。

 

そして、微分方程式（１）の一般解は

　　

となる。

 

（３）の不定積分は、次のように求めることもできる。

　　

右辺の第１項は

　　

右辺の第２項はcos z=tとおくと、

　　

となるので、

　　

したがって、

　　

（いずれも、積分定数は省略）

 

計算方法によって、（４）、（５）、（６）と見た目の異なる不定積分が得られるというお話。

そして、あなたは、（４）、（５）、（６）が同じものだと見破れるだろうか？

 

ちなみに、某サイトでは、

　　

と、（５）と同じものを返すようだ。

（５）、（７）の方がメジャー、主流派なのかな(・・?