第１４回 濃度の和 [集合論入門]
第１４回 濃度の和
濃度の定義
α、βを任意の濃度とする。このとき、α=｜A｜、β=｜B｜かつA∩B=∅である集合A、Bをとり、その直和A＋Bの濃度｜A＋B｜をαとβの和といい、記号α＋βで表す。
一般に、α=｜A｜、β=｜B｜、A∩B=∅である集合A、Bは無数に存在する。したがって、上の定義が成立するためには、集合A、Bの選び方にかかわらず、｜A＋B｜が変わらない必要がある。選び方によって変わらないことは次のように示すことができる。
α=｜A｜=｜A’｜、β=｜B｜=｜B’｜で、かつ、A∩B=∅、A’∩B’=∅とする。
｜A｜＝｜A’｜、｜B｜＝｜B'｜だから、AからA’、BからB'への全単射f、gが存在する。
とすると、hはA＋BからA’＋B’への全単射になる。
よって、
例１ 任意の濃度αに対し、
である。
｜A｜=0、α=｜B｜とすると、A=∅で、A∩B=∅。また、A+B=B+A=B。
よって、
例２
Aを偶数全体の集合、Bを奇数全体の集合とすると、A∩B=∅で、A+Bは自然数全体の集合。
また、
したがって、
例３
とすると、A∩B=∅で、
で,
また、
よって、
定理 α、β、γ、α’を濃度とすると、次のことが成り立つ。
【証明】
（１） ｜A｜=α、｜B｜=β、A∩B=∅とすると、
したがって、
（２） ｜A｜=α、｜B｜=β、｜C｜＝γ、さらに、A∩B=∅、A∩C=∅、B∩C=∅とする。
すると、｜A+B｜=α+βで、また、
したがって、
同様に、
一方、
故に、
（３） ｜A’｜=α’、｜B｜=β、A’∩B=∅とし、α≦α’とすれば、｜A｜=αかつA⊂A’であるAが存在し、A∩B=∅。
ゆえに、｜A'+B｜=α’+β、｜A+B｜=α+β。
一方、A+B⊂A’+Bだから
したがって、
（証明終）
（１）は濃度の加法の交換法則、（２）は濃度の加法の結合法則。
さらに、（２）から次のように、括弧を省いた書き方が許される。
例３ 任意の無限濃度について
｜A｜=αとすれば、Aは無限集合。無限集合Aは可算集合Bを部分集合にもつ。このとき、
（A-B）∩B=∅だから
よって、
したがって、
問１ α、β、α’を濃度とするとき、次のことは成り立つか。
【解】
とすると、α<α'。
例３より
また、例２より
したがって、このとき
ゆえに、
は、一般に成立しない。
（解答終）
任意の濃度系
に対して、次のような、Iを添字の集合とする集合系
を考える。
集合系の和集合
の濃度を、濃度系の和といい、
で表す。
例４ 
問２ 
であることを示せ。
【解】
自然数全体の集合をNとすし、任意のn∈Nに対し
とする。
すると、n≠m∈Nのとき
であり、
したがって、
ここで、
よって、
である。
ブラゲロがこんな質問をしていた [ひとこと言わねば]
☆ 質問は：
１． 《取材のために1対1の飲食の機会があった》りするもんなの？
２． 《取材の度にセクハラ発言があった》とすれば 最初のときは ともかくとしても（つまり完全に善意だと
見なし得るとして） 二度目からは 《飲食》の場は 避けるのが ふつうではないの？ 仕事魂？
３． 三度目からは これぢゃ仕事になんないと分かったんではないの？
取材のためとはいえ、男女１対１の会食の場に出る、あるいは、ついて行くという、この女性記者のあまりに軽率な行為がネムネコには理解できないケロ。
これでは、プライベイトなのか仕事なのか、その区別が曖昧になってしまい、「ひょっとしてこの女性記者は俺に気があるんじゃないか」という誤ったメッセージを相手に与えることになりかねないにゃ。危ないケロ。まして、それが度重なれば、この勘違いは確信に変わるおそれすらある。（この相手の勘違いを利用して、なにか特ダネを聞き出そうなど論外だろう。）であるからして、そもそも、１回目の時点で、この女性記者は固く断るべきだったと思うね。
厳しすぎるかもしれないけれど、
そもそも、１対１の飲食の場に出るという行為自体が取材方法として不適切だった。
そして、さらに厳しく言えば、
このような不適切な取材方法を取らないと必要な情報を得られなかったのだとすれば、それは、取りも直さず、この女性記者に取材記者としてのスキル、能力が欠如していることを意味しているのではないか。また、そのことを自覚し、それを補うためにセクハラ行為を甘んじて受けていたのだとすれば、これは誤った努力であり、努力の方向が間違っていた、と断じざるを得ない。
と同時に、このような不適切な取材方法（？）をとり続けてきた、こうした取材方法を是認してきた、TV局などのマスコミの姿勢――たとえば、少々のセクハラなどの被害を受けても、それを我慢し、他社を出しぬくような特ダネを取って来いといった、無言の特ダネ至上主義。それができなければ無能と判断する誤った評価システム。セクハラ被害を受けた場合、それを直ちに報告できないといった職場環境や社員教育の不足などなど――が問われるべきなんじゃないか。
ネムネコはこのように考えるにゃ。
フリーのジャーナリストが、自己の責任において、麻薬などの犯罪組織に属する危ないヒトたちを取材するのとはワケが違うんだから。
「ネムネコは誘われることはあっても、誘ったりはしないケロ！！」
計算に使用したスプレッドシートの公開 [ひとこと言わねば]
「こんなのいったい何の役に立つの？」
と思いながらも、今日４月１９日の「ねこ騙し数学」の数学の記事で使用した、１次補間法を用いた超越方程式の解法のスプレッドシートを公開したケロ。
超越方程式の近似解法 [数値解析]
超越方程式の近似解法
f(x)は何回でも微分可能な関数とする。
方程式
の一つの解をαとすると、
さて、点x₀でテーラー展開すると
２次の項を無視し、さらに、f(x)=0とすると、
という近似式が得られる。
幾何的に言うと、(x₀,f(x₀))におけるy=f(x)の接線の方程式は
だから、接線のx切片は
つまり、関数f(x)をx₀におけるf(x)の接線で近似し、その接線のx切片を方程式f(x)=0の近似値としている。
（１）式で得られたxをx₁とし、
と、さらに
と逐次的に計算し、方程式f(x)=0の解αを数値的に求める方法をニュートン法（ニュートン・ラプソン法）という。
問１ ニュートン法を用いて、0と1の間にある
の（近似）解を求めよ。
【解】
x₀=0とすると、（２）式より
x₁=0.5だから、
x₂=0.61だから
よって、x=0.619が解である。
（解答終）
このように、ニュートン法は数回の計算で方程式f(x)=0の近似解を求めることができる。
しかし、一々、
を計算することが面倒な場合、（２）式ではなく
を用いて、f(x)=0の近似解を求めることもできる。
この方法をvon Mises法という。
問２ von Mises法を用いて、0と1の間にある
の（近似）解を求めよ。
【解】
x₀=0とすると、
したがって、（３）式より
x₁=0.5とすると、
以下、同様に
よって、x=0.619
（解答終）
上の問からわかるように、一般に、von Mises法はニュートン法よりも収束速度は遅い。
下図のように、方程式f(x)=0の解αが
の間にあるとする。
このとき
を結ぶ直線の方程式は
このx切片を求めると、
とすると、
という漸化式が得られる。
このように、１次補間を用いて、f(x)=0の（近似）解を求めることもできる。
問３ （４）を用いて、0と1の間にある
の（近似）解を求めよ。
【解】
x₀=0、x₁=1として表計算ソフトを用いて計算した結果を以下に示す。
（解答終）
上の表のn=3のとき（黄色の行）、解は0とx₃≒0.497の間に存在せず、そのため、n=4（水色の行）のとき、外挿によって方程式の解の近似値が計算されていることに注意。x₀とx₁の選び方によってはこのようなことが起きる。
ニュートン法ほど速くないけれど、それでも、５〜６回ほどの計算で収束していることがわかる。
早速、AniTubeXなるサイトが・・・ [ひとこと言わねば]
AniTubeX
なる新しいサイトが生まれたようですね。
画像元：AniTubeX
https://www.macxdvd.com/blog/excellent-anitube-anime-stream-site-alternatives.htm
画像元：WatchAnimes.net
https://www.watchanimes.net/
ねこ騙し数学、ページビュー累計１００万突破！！ [ひとこと言わねば]
ねこ騙し数学、ページビュー累計１００万突破！！
境界値問題の前進積分による解法２ [数値解析]
境界値問題の前進積分による解法２
次の微分方程式があるとする。
この解は、
２階常微分方程式（１）の境界値問題を４次のルンゲ・クッタ法で解く方法を思いついたので、紹介する。
微分方程式
は、
とおくと、
となり、次の連立微分方程式に書き換えることが可能。
そして、（２）は、x=x₀におけるy、pの初期値y₀、p₀が与えられれば、（２）は（４次の）ルンゲ・クッタ法を用いて前進的に解くことができる。
しかし、（１）の境界値問題では、pの初期値p₀が与えられていない。
そこで、y₀=0、p₀=1と推測し、n=10、h=0.1として、ルンゲ・クッタ法で解くと、次のような計算結果が得られる。
x=1におけるyの値はy(0)=1だから、
として計算したyの誤差
は
次に、
とし、ルンゲ・クッタ法を用いて解くと、次のようになる。
このとき、x=1におけるyの計算値は1.425591だから、誤差
は
である。
この計算結果を用いてx=0におけるpを次のように推測する。
になる。
ところで、この微分方程式の厳密解は
であり、これを用いてy'(0)を求めると、
だから、何と、小数点５位まで正確な値を推測できる。
先に求めた
を小数点７位で四捨五入した
として計算した結果は次の通り。
x=1でのyの計算値は1になっており、この境界値問題を（４次の）ルンゲ・クッタ法を用いて見事解くことができた！！
３回も計算するのは面倒なので、推測機能を備えたプログラムを新たにC言語で作った。
――最近、Fortranでずっとプログラムを書いていたから、Cでプログラムを書くことに、結構、手こずった(^^ゞ――
それを用いて解いた結果は次の通り。
計算に使用したプログラムは次の通り。
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define N 10
double f(double , double, double);
double g(double , double, double);
double exact(double);
void Runge_Kutta(double *x, double *y, double *z, double h, int n) {
double dk[2][4];
int i;
for (i=0; i < n; i++) {
dk[0][0] = h*f(x[i],y[i],z[i]);
dk[1][0] = h*g(x[i],y[i],z[i]);
dk[0][1] = h*f(x[i]+h/2, y[i]+dk[0][0]/2, z[i]+dk[1][0]/2.);
dk[1][1] = h*g(x[i]+h/2, y[i]+dk[0][0]/2, z[i]+dk[1][0]/2.);
dk[0][2] = h*f(x[i]+h/2, y[i]+dk[0][1]/2, z[i]+dk[1][1]/2.);
dk[1][2] = h*g(x[i]+h/2, y[i]+dk[0][1]/2, z[i]+dk[1][1]/2.);
dk[0][3] = h*f(x[i]+h, y[i]+dk[0][2], z[i]+dk[1][2]);
dk[1][3] = h*g(x[i]+h, y[i]+dk[0][2], z[i]+dk[1][2]);
x[i+1]=x[i]+h;
y[i+1]=y[i]+(dk[0][0]+2*dk[0][1]+2.*dk[0][2]+dk[0][3])/6.;
z[i+1]=z[i]+(dk[1][0]+2*dk[1][1]+2.*dk[1][2]+dk[1][3])/6.;
}
}
main() {
double x[N+1],y[N+1],p[N+1];
double h=0.1;
double p0=1., p1=2., w;
double eps0, eps1, eps=0.000001;
double yn;
int i, cnt, n = N;
x[0]=0.; y[0]=0.; p[0]=p0; yn=1.0; // p0はx=0におけるp=dy/dxの推測値、yn=y(1)はx=1におけるyの値
Runge_Kutta(x, y, p, h, n); // y0=1、p0=1としてルンゲ・クッタ法で計算
eps0=y[n]-yn; // x=1におけるyの誤差を計算
p[0]=p1; //p₀の推測値を更新
Runge_Kutta(x, y, p, h, n); // y0=1、p0=2としてルンゲ・クッタ法で計算
eps1=y[n]-yn; // x=1におけるyの誤差を計算
w=(eps1*p0-eps0*p1)/(eps1-eps0); // 補間法を用いてp₀を推測
p0=p1; p1=w;
cnt=1;
while(cnt <= 20) {
eps0=eps1;
p[0]=p1;
Runge_Kutta(x, y, p, h, n); // 推測値を用いて再計算
eps1=y[n]-yn; // 誤差を計算
if (fabs(eps1)<eps) break; // 収束条件を満たしていたら計算終了
w=(eps1*p0-eps0*p1)/(eps1-eps0); // 補間を用いてp₀を推測
p0=p1; p1=w;
cnt++;
}
printf(" x y 厳密解\n");
for(i=0;i<=n;i++) {
printf("%f %f %f\n",x[i],y[i],exact(x[i]));
}
}
double f(double x,double y, double z) {
return z;
}
double g(double x, double y, double z) {
return -2.*x*z - x*x*y;
}
double exact(double x) {
double e;
e=exp(1);
return pow(e,3./2.)/(e*e-1)*(exp(x)-exp(-x))*exp(-x*x/2);
}
そして、「どうだ」と、胸を張るネムネコであった。
画像元：YouTubeの上の動画
さらに、自画自賛ソングを！！
なお、ループ（while）が存在するのは、非同次線形微分方程式だけではなく、非線形の微分方程式にも対応できるようにしたため。
線形微分方程式ならば、whileループは不要！！
［2階常微分方程式］ [数値解析]
［2階常微分方程式］
ですか。2階常微分方程式だと境界条件(2)（初期条件）は、y'(0)＝0みたいになるのが普通なんですが一般論という事で(^^)。
まず(1)を普通に差分します。x0＝0，x1＝Δx，x2＝2･Δx，・・・，xj＝j･Δx，・・・，xn＝n･Δx＝1として、
じつは線形微分方程式と線形差分方程式は、ほとんどパラレルな形で解けます（ネコ先生はご存知でしょうが(^^)）。
(3)の特性方程式は、
なので、
※
よって(3)の一般解は、(5)をμ＝μ1，μ2として、
ここにC1，C2は境界条件から決まる任意定数。境界条件y(0)＝y0＝1より(6)から、
境界条件y'(1)＝y'(n･Δx)＝0より直接、
(8)に(6)を代入すれば、
(7)，(9)より、
(6)，(10)，(11)を使えば、図-1が得られます。Δx＝0.1，n＝10です。やっぱり、yの1階微分に最後まで中
心差分を使うのが精度の決め手みたいですね(^^)。
【「Anitube」アクセス不能に】 [ひとこと言わねば]
【「Anitube」アクセス不能に】海賊版アニメサイト「Anitube」が16日昼ごろから、つながらないというユーザーの報告が寄せられている。政府は「Anitube」など3サイトを名指しして対策の必要性を訴え。 https://t.co/OKF4lbE7AA
— Yahoo!ニュース (@YahooNewsTopics) 2018年4月16日
漫画海賊版サイト遮断「諸刃の剣に」ちばてつやさん危惧 https://t.co/ufrEstHhr0
— 朝日新聞(asahi shimbun） (@asahi) 2018年4月16日
anitube遮断したらアニメ業界へのブーメランだからね
— カイドリ＊あんハピ♪難民 (@marinatteru) 2018年4月16日
有料配信に移行するわけでもなく単純に見なくなる
↓
anitubeのおかげで見てもらえてた、話題にされた作品が見てもらえすらしなくなる
↓
アニメ視聴本数が減り、活気低下、イベグッズ広告売り上げ減
出会いの場を減らすのは自滅
アニメ業界心配
ネットでは、Anitube閉鎖（？）に際し、多数の悲鳴と嘆き声が上がっているようだにゃ。さながら、阿鼻叫喚地獄の様相を呈しているにゃ。
特選アニメ動画紹介所も、昨年、閉鎖されたようだし・・・。
「未成年者だけではなく、小さな子どもですら、海外のアダルト動画サイトに簡単にアクセスでき、日本では放送などが禁止されている無修正のエッチな動画さえ見ることができる。これってどうなんですかね〜。ブロッキングするとかしなくてもいいんですかね〜」
という問題を提起したことがある。
社会的な害悪という観点からすると――アダルトビデオにだって著作権はある。著作権侵害という点はまったく同じ。まして、これらのサイトにある動画のほとんどが日本では流してはいけない無修正の動画――、◯videoや◯ornhubなどの海外のアダルトサイトの方がはるかに大きいと思うのだが、なぜ、政府はこれらのアダルト動画へのブロッキング要請をネット接続の会社に要請しないんだろう。
ネムネコは、不思議でたまらない。
