今日のアニソン、「銀河英雄伝説 Die Neue These 邂逅」から『Binary Star』 [今日のアニソン]
第１１回 非可算集合 [集合論入門]
第１１回 非可算集合
有理数、代数的（実）数のように、自然数よりもはるかに（個）数が多そうな無限集合の濃度も可算濃度
であった。したがって、無限集合の濃度はすべてに等しいのではないかと思いたくなる。
しかし、この予想は正しくない。
次に、可算濃度ではない無限集合の実例をあげることにする。
（１） 実数全体の集合Rは可算集合ではない
実数の部分集合R₁=｛x∈R｜0<x<1｝とする。
R₁の要素xは、無限小数として、ただ一通りに表せる。
R₁が可算であると仮定すると、その要素は次のように自然数の番号をつけることができる。
ここで、上の表の対角線上の数
を元に、
とし、
という実数を作る。
すると、0<b<1となり、b∈R₁である。
したがって、bは、ある
に等しくならなければならないが、どのもbと小数点第n位が異なっており、
である。
これは矛盾である。
したがって、R₁は可算ではなく、実数全体の集合Rも可算ではない。
これが有名なカントールの対角線論法である。
問 開区間(0,1)と実数全体の集合Rは対等であることを示せ。
【解】
とすると、fは(0,1)からRへの全単射になる。
したがって、開区間(0,1)と実数全体の集合Rは対等である。
（解答終）
実数全体の集合Rの濃度は
と表し、これを連続体の濃度という。
（補足）
代数的（実）数以外の実数を超越数という。
（２） 関数の濃度
実数全体の集合RからRへの関数全体の集合Fの濃度は、有限でも可算濃度でも連続体の濃度でもない。
【証明】
任意のx∈Rに対して実定数aに対応させる写像（関数）をfₐとおけば
である。
fₐ全体が作るFの部分集合をCとする。
実数aにfₐを対応させれば、これはRからCへの全単射（１対１対応）。したがって、C〜Rである。よって、Fは高々可算集合ではない。
次に、FとRが対等でないことを示す。
RからFへの全単射gがあると仮定する。
すると、Fの任意の要素は、Rのある要素aのgによる像gₐである。
ここで、任意のa∈Rに対して
という関数hを定義すると、h∈Fである。したがって、hはある
に等しい。つまり、任意のx∈Rに対して
となり、
である。
しかし、これは
と矛盾する。
よって、実数全体の集合RからRへの関数全体の集合Fと実数全体の集合Rとは対等ではない。
（証明終）
RからRへの関数全体の集合Fの濃度を関数の濃度という。
実は、
という関係があるのですが、たとえば、との間に濃度があるのかどうかはわからない。
というか、この間に濃度があると仮定してもよし、無しとしてもよし。
定理 全ての無限集合は可算である部分集合をもつ。
【略証】
集合Aが無限集合であれば、
と、順次、要素を取り出すことができ、
とすると、Bは可算集合、かつ、B⊂A。
（略証終）
