今日のアニソン、巡音ルカの『ダブルラリアット』

今日のアニソンは、巡音ルカの『ダブルラリアット』です。

ネコは、かくも、可愛い生き物だケロよ。

なお、ルカが振り回すのは、フライパンではなくマグロなので注意するにゃ。

ガウス・ルジャンドルの方法

ガウス・ルジャンドルの方法

次の積分は

　　

は、

　　

と変数変換すると、置換積分によって

　　

と区間[−1,1]の積分に変換できる。

 

u(x)が2n−1次以下の多項式であるとし、で割った商をQ(x)、余りをφ(x)とすると、

　　

このとき、Q(x)、φ(x)ともにn−1次以下の多項式であるから、

　　

となり、

　　

である。

の根（零点）をとすれば、Lagrange補間によって

　　

ゆえに、

　　

ここで、

　　

とおけば、

　　

はルジャンドルの多項式によってのみ決まり、この値は次のような表で与えられている。

 

 

n=3のとき、

　　

 

この式は、u(x)が2×3−1次以下の多項式であるとき、を正確に計算する。

また、u(x)が多項式でない場合、u(x)を５次式で近似した定積分の値を与える。

 

例１

　　

この積分の値は、

　　

だから、小数点３位まで正確に計算できていることがわかる。

これは、台形公式や中点公式を用いて、積分区間[−1,1]を１００分割して、この積分の近似値を求めたものに匹敵する精度（下図参照）。

 

 

 

例２

　　

をガウス・ルジャンドルの方法で近似値を求めることにする。

積分区間が[1,2]だから

　　

とおくと、

　　

ここで、

　　

となるので、

　　

台形公式、中点公式で２５分割した際の精度に匹敵するものが得られるのでった。

 

計算に使用したのは、 
https://nemneko.blogspot.jp/2016/11/blog-post_14.html