スプレッドシート（４月３日）を公開したにゃ

お前らに質問（４月３日）のサンプル計算で使用したスプレッドシートを公開したにゃ。
興味のあるヒトは、見るといいと思うケロ。

エクセル版
https://docs.google.com/spreadsheets/d/e/2PACX-1vTC4Ht62OfD0xCXYBh5MA0Ffw6qYpYZW_91NmlHoiQuySLucfK-gWDiotE4SEY3RqqiW2mr4xzvvMUt/pub?output=xlsx

LibreOffice Calc版
https://docs.google.com/spreadsheets/d/e/2PACX-1vTC4Ht62OfD0xCXYBh5MA0Ffw6qYpYZW_91NmlHoiQuySLucfK-gWDiotE4SEY3RqqiW2mr4xzvvMUt/pub?output=ods

Webページ版
https://docs.google.com/spreadsheets/d/e/2PACX-1vTC4Ht62OfD0xCXYBh5MA0Ffw6qYpYZW_91NmlHoiQuySLucfK-gWDiotE4SEY3RqqiW2mr4xzvvMUt/pubhtml

パソコンやブラウザーの設定によっては、エクセル、Calc版のリンク先をクリックすると、スプレッドシートがダウンロードされる場合があるので、この点は注意するケロ。

F列に収束速度というものがありますが、これはの比のこと。この数字が小さければ小さいほど、速く収束します。２分法は、大体、1/2、0.5くらい。収束速度という用語が適切かどうかわからないけれど、
――スプレッドシートを作るときに、「何か名前がないと表が寂しい」との理由から、とりあえず、他人に見せる目的ではなく、自分のためにつけた実にいい加減なもの。いま思うと、収束係数とか収束指数といったネーミングにすべきだった。たぶん、これには正式な名称がついているはず。ハッキリ言って、このネーミングはかなりまずいものだ(^_^;)――
この計算の場合、これが約2/3だから、２分法よりも収束が遅いことがわかる。

実は、この数字にはちょっとした秘密が隠されている。

　　

のとき、

　　

になることが知られている。そして、ニュートン法を用いたこの計算の場合、m=3だから、1−1/3=2/3になる。ちゃんと、この値になっているだろう。さらに、このことから、m=4,5,・・・と、mをどんどん大きくすればするほど、ニュートン法の収束はさらに遅くなることがわかる。また、m=2のとき、ニュートン法はほとんど２分法になってしまうってことも。

なお、本計算の場合、

　　

となるので、ニュートン法の漸化式は

　　

となる。このスプレッドシートではこれを用いて計算してあるので、表面上、微分は出てこないように見えるけれど、しっかり微分している。だから、スプレッドシートの計算式を見て、「何だ、これは。いったい、この式はどこから出てきた」と悩まないで欲しい。

この記事を読み、連立方程式の反復解法でよく使われるSOR法のように、収束をはやめるために、加速係数ω>1を導入し、

　　

で計算しようという、ずる賢い奴も出てくるかもしれない(^^)

加速係数ω=2のとき

随分、速く計算できるようになった(^^ゞ

ただし、くれぐれもスピードの出しすぎには注意しましょう！！　ものには限度というものがあるのだから。
しかし、さらにスピードアップさせて、究極の
加速係数ω=3に！！

収束の速さは神の領域へ！！

そして、お決まりのこの曲を♪

お前らに質問（４月３日）のサンプル計算

お前らに質問（４月３日）のサンプル計算

 

サンプル計算でも見せないと、お前らは絶対にやろうとしない。

お前らとの付き合いは長いから、それくらいんことは、わかるにゃ。

 

ということで、

x₀=5を計算開始点とし、ニュートン法で方程式

　　

の解x=3を求めた計算結果を示してやるケロ。

 

ニュートン法だと、３７回、反復して、ようやく

　　

という収束条件を満たす（下の表参照）。

 

２分法だと２３回で収束条件を満たすので、この問題の場合、ニュートン法は２分法の約１．６倍も収束が遅い！！

このとき、ニュートン法は、あたかも、ナメクジが這うような、ゆっくりとした速度で収束するのであった。

 

⑨の極みたる⑨³のネムネコと、⑨である

わかるくらいに

（画像元：上のYouTubeの動画）

ニュートン法による計算結果

x₀=−5の場合

x₀=5の場合

今日のアニソン、「ユリ熊嵐」から『あの森で待ってる』

今日のアニソンは、アニメ「ユリ熊嵐」から『あの森で待ってる』です。

このアニメのタイトルからして、ネムネコの理解の範囲を超えているケロ。何でも、人喰いクマが主人公のアニメらしいにゃ。

東方には熊がいないから、わからないにゃ。
こんなのが出るケロか？

それとも、こんなのが出るケロか？

［全射，単射の必要十分条件］

［全射，単射の必要十分条件］

 

　ブルバキ風です。

 

［定義1］

　Ｘ，Ｙを集合として、Ｘ，Ｙ上の恒等写像をI_dＸとI_dＹで表す。

 

(1)

　写像f：Ｘ→Ｙに対し、

　　

となるs：Ｙ→Ｘを、fの左逆写像と呼ぶ。

 

(2)

　写像f：Ｘ→Ｙに対し、

　　

となるr：Ｙ→Ｘを、fの右逆写像と呼ぶ。

 

 

［定理1］

　(1) f：Ｘ→Ｙが単射であるための条件は、左逆写像sが存在する事。

　(2) f：Ｘ→Ｙが全射であるための条件は、右逆写像rが存在する事。

［証明］

(1)

　f：Ｘ→Ｙを単射とする。

　Ｘのfによる像f(Ｘ)⊂Ｙへfを縮小した写像を、f₀：Ｘ→f(Ｘ)で表す。f₀は明らかに全射。fは単射だったのでf₀も単射。従ってf₀は全単射なので、逆写像f₀^-1：f(Ｘ)→Ｘがある。各x∈Ｘについてf₀^-1 (f(x))＝xが成り立つ。

　写像s：Ｙ→Ｘを以下のように定める。

　　1) f(Ｘ)⊂Ｙ上で、s＝f₀^-1。

　　2) y∈Ｙ－f(Ｘ)なら、s(x)＝z∈Ｘ。zはＸから任意に一つ選んだ要素。

 

　f(x)∈f(Ｘ)は自明なのでsの定義より、

　　

となり、

　　

で、s：Ｙ→Ｘはfの左逆写像。

 

　逆にfの左逆写像sがあるとする。f(x₁)，f(x₂)∈f(Ｘ)かつf(x₁)＝f(x₂)について、

 

 

 

なので、fは単射（sの構成を式にしただけ）。

 

(2)

　f：Ｘ→Ｙを全射とする。

　fは全射なので、各y∈Ｙのfによる逆像f^-1(y)⊂Ｘは空でない。

　写像r：Ｙ→Ｘを以下のように定める。

　　1) r(y)＝x∈f^-1(y)。xはf^-1(y)から任意に一つ選んだ要素。

　　2) x∈f^-1(y)に対しy＝f(x)は自明。

 

　各y∈Ｙには必ず空でないf^-1(y)があるので、rの定義より、

　　

となり、

　　

で、r：Ｙ→Ｘはfの右逆写像。

 

　逆にfの右逆写像rがあるとする。任意のy∈Ｙについて、

　　

なので、y＝f(r(y))となるr(y)∈Ｘがあり、fは全射（rの構成を式にしただけ）。

［証明終］

 

　ここで左逆写像，右逆写像について反省。

　　

　定理1の構成を見れば明らかなように、これらはfが全単射じゃない真の単射，全射でも成り立つ。しかも恒等写像I_dX，I_dYは全単射の代表。このへんで、

 

　　・gとfの合成写像が全単射でも、gやfが全単射とは限らない．

 

と気づけよ！(^∨∨;)・・・と反省。

 

［系1］

　f：Ｘ→Ｙ，g：Ｙ→Ｚとして、gとfの合成写像をhとする。

　　

　(1) hが単射なら、fは単射。

　(2) hが全射なら、gは全射。

［証明］

(1)

　hが単射ならhの左逆写像sがある。

　　

　従って、

　　

はfの左逆写像。fは単射。

 

(2)

　hが全射ならhの右逆写像rがある。

　　

　従って、

　　

はgの右逆写像。gは全射。

［証明終］

 

　次の定理は、ほとんど自明です。

［定理2］

　f：Ｘ→Ｙとする。

　　

［証明］

　y＝f(x)とする。f(I_dＸ(x))＝f(x)＝y，I_dＹ(f(x))＝I_dＹ(y)＝yだから。

［証明終］

 

［定理3］

　f：Ｘ→Ｙ，g：Ｙ→Ｚとして、gとfの合成写像をhとする。

　　

　(1) hが単射でfが全射なら、gは単射。

　(2) hが全射でgが単射なら、fは全射。

［証明］

(1)

　hが単射ならhの左逆写像s：Ｚ→Ｘがある。

　　

　fが全射なら、fの右逆写像r：Ｙ→Ｘがある。左右逆写像の定義1と定理2より、

　　

　さらに、

　　

となるので、

　　

はgの左逆写像。gは単射。

 

(2)

　hが全射ならhの右逆写像r：Ｚ→Ｘがある。

　　

　gが単射なら、gの左逆写像s：Ｚ→Ｙがある。左右逆写像の定義1と定理2より、

　　

　さらに、

　　

となるので、

　　

はfの右逆写像。fは全射。

［証明終］

 

 

［系2］

　f：Ｘ→Ｙ，g：Ｙ→Ｚとして、gとfの合成写像をhとする。

　(1) hが全単射でfが全射なら、fとgは全単射。

　(2) hが全単射でgは単射なら、fとgは全単射。

［証明］

　系1より、hが全単射なら、gは全射でfは単射。

 

(1)

　fが全射ならfは全単射。このとき定理3から、gは単射なのでgも全単射。

(2)

　gが単射ならgは全単射。このとき定理3から、fは全射なのでfも全単射。

［証明終］

 

 

［まとめにかえて］

　　

が全単射であっても、fやgは全単射とは限らないし、f^-1やg^-1が存在するとは限らない。この事実は確かに忘れがちですよね。

　　

と書けるのは、けっこう幸運なのだと。もしくは工夫するか。

 

　系2の状況を少し吟味してみると、(1)が本質的だとわかります。そこでhが全単射でfが全射でなければ、sの時のようにfとgからそれらの縮小、f₀：Ｘ→f(Ｘ)，g₀：f(Ｘ)→Ｙへ移ってやれば、系2から、

　　

が存在する事になります。

　そして、

　　

で定義されるh₀には、hの全情報が詰まっている事になります。h₀の実質はhと同じです。

（執筆：ddt³さん）

お前らに質問（４月３日）！！

お前らに、問題！！

 

問題　次の方程式の解を２分法とニュートン法で求めたい。

　　

さて、次の条件で計算したとき、２分法とニュートン法、どちらが速く収束解を得られるでしょうか。

 

２分法　計算開始の区間をI₀=[0,5]とする。

ニュートン法　x₀=５を計算の出発点とする。

収束条件　｜x−3｜ <10⁻⁶

 

上の方程式の解がx=３だってことは計算するまでもなくわかる。

２分法とニュートン法のどちらが速く計算できるか、それを答えろってのがこの問題だ。

 

２分法が何かわからないヒトは、次の記事を読むべし。

http://nekodamashi-math.blog.so-net.ne.jp/2015-02-23

 

ニュートン法がわからないヒトは、たとえば、次の記事を読むべし。

http://nekodamashi-math.blog.so-net.ne.jp/2017-03-06-3

C言語のプログラムは、次のところに出ている。

http://nekodamashi-math.blog.so-net.ne.jp/2017-03-07

 

PC版のブログを見ているヒトは、ブログの左脇に出ている検索ボックスにニュートン法と書き、検索をかけると、ニュートン法に関係する、「ねこ騙し数学」の記事が幾つか出てくる（右図参照）。

だから、できねぇとは言わせない。

 

プログラムを作る環境を有していない、表計算ソフトも持っていないヒトは頭で考える。

この問題は、頭で考えることによっても、十分に解くことができる問題なんだから。プログラムを書いたり、スプレッドシートを作ったりせずとも、この問題は解くことができる！！

もっとも、ネムネコの母親のように、「私の頭は飾りとしてついている」というヒトは、話が別だが・・・。

ネムネコの母親と違って、お前らの頭は飾りじゃないだろう？

必要な最低限のツールは、紙と鉛筆、次の常用対数表、そして、何より、考えることのできる頭。

「こんなのはチョロいぜ」というヒトは、

　　

 

に対し、計算開始点をx₀=5とx₀=−5とした場合のニュートン法による方程式の（収束）解を求め、その際の収束速度の違いについて検討する。

これらの問題にチャレンジし、答に辿りつけたヒトは、一般に数値解析の常識と信じられていることが、実はそれほど当たり前のことでなかったということを知ることができるのであった。