［全射，単射の必要十分条件］ [集合論入門]
［全射，単射の必要十分条件］
ブルバキ風です。
［定義1］
Ｘ，Ｙを集合として、Ｘ，Ｙ上の恒等写像をIdＸとIdＹで表す。
(1)
写像f：Ｘ→Ｙに対し、
となるs：Ｙ→Ｘを、fの左逆写像と呼ぶ。
(2)
写像f：Ｘ→Ｙに対し、
となるr：Ｙ→Ｘを、fの右逆写像と呼ぶ。
［定理1］
(1) f：Ｘ→Ｙが単射であるための条件は、左逆写像sが存在する事。
(2) f：Ｘ→Ｙが全射であるための条件は、右逆写像rが存在する事。
［証明］
(1)
f：Ｘ→Ｙを単射とする。
Ｘのfによる像f(Ｘ)⊂Ｙへfを縮小した写像を、f0：Ｘ→f(Ｘ)で表す。f0は明らかに全射。fは単射だったのでf0も単射。従ってf0は全単射なので、逆写像f0-1：f(Ｘ)→Ｘがある。各x∈Ｘについてf0-1 (f(x))＝xが成り立つ。
写像s：Ｙ→Ｘを以下のように定める。
1) f(Ｘ)⊂Ｙ上で、s＝f0-1。
2) y∈Ｙ－f(Ｘ)なら、s(x)＝z∈Ｘ。zはＸから任意に一つ選んだ要素。
f(x)∈f(Ｘ)は自明なのでsの定義より、
となり、
で、s：Ｙ→Ｘはfの左逆写像。
逆にfの左逆写像sがあるとする。f(x1)，f(x2)∈f(Ｘ)かつf(x1)＝f(x2)について、
なので、fは単射（sの構成を式にしただけ）。
(2)
f：Ｘ→Ｙを全射とする。
fは全射なので、各y∈Ｙのfによる逆像f-1(y)⊂Ｘは空でない。
写像r：Ｙ→Ｘを以下のように定める。
1) r(y)＝x∈f-1(y)。xはf-1(y)から任意に一つ選んだ要素。
2) x∈f-1(y)に対しy＝f(x)は自明。
各y∈Ｙには必ず空でないf-1(y)があるので、rの定義より、
となり、
で、r：Ｙ→Ｘはfの右逆写像。
逆にfの右逆写像rがあるとする。任意のy∈Ｙについて、
なので、y＝f(r(y))となるr(y)∈Ｘがあり、fは全射（rの構成を式にしただけ）。
［証明終］
ここで左逆写像，右逆写像について反省。
定理1の構成を見れば明らかなように、これらはfが全単射じゃない真の単射，全射でも成り立つ。しかも恒等写像IdX，IdYは全単射の代表。このへんで、
・gとfの合成写像が全単射でも、gやfが全単射とは限らない．
と気づけよ！(∨∨;)・・・と反省。
［系1］
f：Ｘ→Ｙ，g：Ｙ→Ｚとして、gとfの合成写像をhとする。
(1) hが単射なら、fは単射。
(2) hが全射なら、gは全射。
［証明］
(1)
hが単射ならhの左逆写像sがある。
従って、
はfの左逆写像。fは単射。
(2)
hが全射ならhの右逆写像rがある。
従って、
はgの右逆写像。gは全射。
［証明終］
次の定理は、ほとんど自明です。
［定理2］
f：Ｘ→Ｙとする。
［証明］
y＝f(x)とする。f(IdＸ(x))＝f(x)＝y，IdＹ(f(x))＝IdＹ(y)＝yだから。
［証明終］
［定理3］
f：Ｘ→Ｙ，g：Ｙ→Ｚとして、gとfの合成写像をhとする。
(1) hが単射でfが全射なら、gは単射。
(2) hが全射でgが単射なら、fは全射。
［証明］
(1)
hが単射ならhの左逆写像s：Ｚ→Ｘがある。
fが全射なら、fの右逆写像r：Ｙ→Ｘがある。左右逆写像の定義1と定理2より、
さらに、
となるので、
はgの左逆写像。gは単射。
(2)
hが全射ならhの右逆写像r：Ｚ→Ｘがある。
gが単射なら、gの左逆写像s：Ｚ→Ｙがある。左右逆写像の定義1と定理2より、
さらに、
となるので、
はfの右逆写像。fは全射。
［証明終］
［系2］
f：Ｘ→Ｙ，g：Ｙ→Ｚとして、gとfの合成写像をhとする。
(1) hが全単射でfが全射なら、fとgは全単射。
(2) hが全単射でgは単射なら、fとgは全単射。
［証明］
系1より、hが全単射なら、gは全射でfは単射。
(1)
fが全射ならfは全単射。このとき定理3から、gは単射なのでgも全単射。
(2)
gが単射ならgは全単射。このとき定理3から、fは全射なのでfも全単射。
［証明終］
［まとめにかえて］
が全単射であっても、fやgは全単射とは限らないし、f-1やg-1が存在するとは限らない。この事実は確かに忘れがちですよね。
と書けるのは、けっこう幸運なのだと。もしくは工夫するか。
系2の状況を少し吟味してみると、(1)が本質的だとわかります。そこでhが全単射でfが全射でなければ、sの時のようにfとgからそれらの縮小、f0：Ｘ→f(Ｘ)，g0：f(Ｘ)→Ｙへ移ってやれば、系2から、
が存在する事になります。
そして、
で定義されるh0には、hの全情報が詰まっている事になります。h0の実質はhと同じです。
（執筆：ddt³さん）
2018-04-03 12:00
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