第１４回 濃度の和

第１４回　濃度の和

 

濃度の定義

α、βを任意の濃度とする。このとき、α=｜A｜、β=｜B｜かつA∩B=∅である集合A、Bをとり、その直和A＋Bの濃度｜A＋B｜をαとβの和といい、記号α＋βで表す。

 

一般に、α=｜A｜、β=｜B｜、A∩B=∅である集合A、Bは無数に存在する。したがって、上の定義が成立するためには、集合A、Bの選び方にかかわらず、｜A＋B｜が変わらない必要がある。選び方によって変わらないことは次のように示すことができる。

α=｜A｜=｜A’｜、β=｜B｜=｜B’｜で、かつ、A∩B=∅、A’∩B’=∅とする。

｜A｜＝｜A’｜、｜B｜＝｜B'｜だから、AからA’、BからB'への全単射f、gが存在する。

　　

とすると、hはA＋BからA’＋B’への全単射になる。

よって、

 

例１　任意の濃度αに対し、

　　

である。

｜A｜=0、α=｜B｜とすると、A=∅で、A∩B=∅。また、A+B=B+A=B。

よって、

　　

 

例２

Aを偶数全体の集合、Bを奇数全体の集合とすると、A∩B=∅で、A+Bは自然数全体の集合。

また、

　　

したがって、

　　

 

例３

　　

とすると、A∩B=∅で、で,

　　

また、

　　

よって、

　　

 

定理　α、β、γ、α’を濃度とすると、次のことが成り立つ。

【証明】

（１）　｜A｜=α、｜B｜=β、A∩B=∅とすると、

　　

したがって、

　　

 

（２）　｜A｜=α、｜B｜=β、｜C｜＝γ、さらに、A∩B=∅、A∩C=∅、B∩C=∅とする。

すると、｜A+B｜=α+βで、また、

　　

したがって、

　　

同様に、

　　

一方、

　　

故に、

　　

 

（３）　｜A’｜=α’、｜B｜=β、A’∩B=∅とし、α≦α’とすれば、｜A｜=αかつA⊂A’であるAが存在し、A∩B=∅。

ゆえに、｜A'+B｜=α’+β、｜A+B｜=α+β。

一方、A+B⊂A’+Bだから

　　

したがって、

　　

（証明終）

 

（１）は濃度の加法の交換法則、（２）は濃度の加法の結合法則。

さらに、（２）から次のように、括弧を省いた書き方が許される。

　　

 

 

例３　任意の無限濃度について

　　

｜A｜=αとすれば、Aは無限集合。無限集合Aは可算集合Bを部分集合にもつ。このとき、

　　

（A-B）∩B=∅だから

　　

よって、

　　

したがって、

　　

 

問１　α、β、α’を濃度とするとき、次のことは成り立つか。

【解】

とすると、α<α'。

例３より

　　

また、例２より

　　

したがって、このとき

　　

ゆえに、

　　

は、一般に成立しない。

（解答終）

 

任意の濃度系に対して、次のような、Iを添字の集合とする集合系を考える。

　　

集合系の和集合の濃度を、濃度系の和といい、

　　

で表す。

 

例４　

 

問２　であることを示せ。

【解】

自然数全体の集合をNとすし、任意のn∈Nに対し

　　

とする。

すると、n≠m∈Nのとき

　　

であり、

　　

したがって、

　　

ここで、

よって、

　　

である。