今日のアニソン、けものフレンズのみんなで『恋』ダンス

今日のアニソンは、けものフレンズのみんなで『恋』ダンスです。

「この曲はアニソンじゃない」なんて、かたいことは言わず言わず、この動画を愉しんで欲しいにゃ。
さらに、けものフレンズによるこの動画を♪

［2階常微分方程式（保存系）］

［2階常微分方程式（保存系）］

 

　　

　(1)は保存系の微分方程式です。保存系だと非線形であってもエネルギー積分があるので、それなりに出来る事があります(^^)。

 

　(1)の両辺にy'をかけ、tで積分すればエネルギー積分です。

　　

から、合成関数の微分公式の逆を使って、

　　

となり、エネルギー積分を得ます。ここにＣは任意定数。初期値問題ならばt＝0でのy'とyがわかっているのでＣを計算できますが、今は境界条件が(2)なのでＣを直接計算できません。それでもy(0)＝0を(3)に代入すれば、

　　

となり、Ｃが初期速度のかわりになってるのがわかります。Ｃを決める条件はもちろん(2)のy(1)＝1です。従ってＣを含んだ形で問題を解いた後でないと、Ｃを決定できないのもわかります。Ｃを決定できないという事は、未完の解答という事です(^^;)。

 

　ところが1次元の保存系の形式解は、必ずあるんですよ。(3)が変数分離形である事はすぐわかります。(3)をy'について解けば、

　　

ですから、

　　

です。(6)をtで積分すれば、再び合成関数の微分公式の逆を使い、

です。

　±1の積分は明らかに±t＋Ｄですから（Ｄも任意定数）、(6)，(7)より、

　　

が得られます。これにy(0)＝0とy(1)＝1を代入すれば、

　　

となるので、(9)，(10)の連立方程式からＣ，Ｄを決定して(8)に戻れば良い訳です。よって(8)中辺の具体的な形がわかればOKですが、たぶん駄目です。(8)中辺の積分は基本的に、

　　

がわかればいいのですが恐らく無理ですよね、ネコ先生？。岩波公式集にも載ってなかったもの(^^;)。

 

　そういう訳で定性的な検討に移行します。まず(3)の、という事は(5)のグラフを描いてみましょう。(5)の√内正より、y≦(3Ｃ)^1/3でなければならない事がわかります。その事に注意してExcelなんかでグラフを描けば図-1になります。y(t)がy(1)＝1に達するためには、1/3≦Ｃが必要です。

 

 

　問題の条件は、時間の経過tの増加とともに、y(t)はy(0)＝0 → y(1)＝1と変化するというものでしたが、図-1に示したように、y＝0 → 1となる位相空間での軌道はいくつもあります（図-1の赤矢印）。しかしそれは変です。何故ならy(0)＝0とy(1)＝1は、t＝0においてyとy'を与える普通の初期条件のかわりをしてるはずだからです。初期条件を与えれば、常微分方程式の解は一意に存在します。それが常微分方程式の解の存在定理です（これを本気で証明しようという人は、ほとんど見た事ありませんが(^^;)）。

 

　何かを見落としてます。答えを言うと、時間経過です。つまり図-1の3つの赤矢印のy＝0での時間t₀とy＝1での時間t₁との差は、t₁－t₀＝1と限らないという事です。初期条件を与える場合は同時刻でyとy'を与えるので、ふだんは経過時間なんか気にしませんが(^^;)。

　逆に言えばt₁－t₀＝1であるという制約条件が、位相空間上に無数に存在する、y＝0 → 1となる軌道から正しい軌道を選択してくれます。じっさい図-1の3つの軌道は、y(t₀)＝1ではありますが、y'(t₀)はそれぞれ違います。違った初期条件のもとでは位相空間での軌道は必ず違う。それが常微分方程式の解の存在定理の言ってる事です。だから違った3つの軌道になっていいです。と同時に、y＝1となる時刻t₁はそれぞれ違うしかない事にもなります。何故なら図-1の曲線は、微分方程式(1)そのものだからです。

　しかし今まで導いた条件に、y＝0 → 1のための時間経過を教えてくれるようなものはあるんでしょうか？。　それが保存系の場合は「あるんです！」(^^)。それは式(8)そのものです。この議論を一般化すると、作用変数・角変数とかハミルトン・ヤコビ方程式の話になります。そういう訳で(8)中辺の具体的形がわかればいいんですけど、・・・けっきょくそれかい！(^^;)。

 

　再び出来ない話に帰着したので、再び定性的検討に移行しましょう(^^;)。今度は(8)中辺の被積分関数をg(y)として、g(y)のグラフを描いてみます。図-1の逆数のグラフを描くだけですよ。図-1から0≦y'だけで良いので、

 

 

です。(8)で任意定数Ｄは明らかに、時間の原点の設定を表しています。時間の原点の設定は任意にできるので、Ｄ＝0としましょう。そうすると(8)の積分は、図-2の曲線のy＝0～1における面積そのものになります。それがt₁－t₀＝1になる事が、制約条件です。1/y'をyで積分した結果の面積をＴとします。図-2の黄色いハッチ部は、y＝0～1における面積1を表します。

　図-2を眺めると、Ｃ＝0.5では恐らく1＜Ｔ，Ｃ＝0.7ではＴ≦1か1≦Ｔかは不確定、Ｃ＝1なら確実にＴ＜1です。またＴ(Ｃ)はＣに対して単調減少であろうという予想もできます。もしそれが正しいなら、二分法かなにかで数値的にＣを決定できます。Ｃが決定できれば(4)から、y'(0)もわかります。

 

　Ｔ(Ｃ)がＣに対して単調減少である事を示します。Ｄ＝0とすれば(8)から、

 

　　

　積分記号化の微分を使って、

　　

が得られます。図-2の条件下では被積分関数は正で、dＴ/dＣは負。yがy＝0から1にいたる経過時間Ｔ(Ｃ)は、Ｃに対して単調減少とわかります。こうなれば後は台形公式でも使って(11)の面積を計算し、Ｃを探すだけです。そのために最初は二分法を考えたんですが、(12)をみてたら縮小写像の方が便利そうだと気づきました。(12)をもう一回Ｃで微分すると、

　　

なのでd²Ｔ/dＣ²は正。よってy＝0～1の範囲でＴ(Ｃ)のグラフは、下に凸な単調減少です。という事はＳ＝Ｔ(Ｃ)－1＋ＣとＳ＝Ｃとの関係は、図-3のようになります。

 

 

　そうであれば例えば初期値Ｃ＝1から始めて、青点線矢印のように進んでいけば、Ｔ(Ｃ)－1＋Ｃ＝ＣすなわちＴ(Ｃ)＝1となるＣに収束します。それも相当に速く。手動でもできそうです(^^)。

 

　Excelでやってみた結果が以下です。

 

 

　単純に台形公式でＴの面積を計算し、結果を右の表にメモリながらＣの値を入れかえるの繰り返しです。ちなみに値コピーしないでＣの値を入れかえようとすると、「循環参照だぞっ！」ってExcelに怒られます(^^;)。

 

　最終結果は5回で収束しました。

打ち切り条件はＴ＝1が目標だったので、Ｔ－1＜10^-6です。いつもは関数の単調性さえわかれば、なんでもかんでも二分法に持ち込むんですけれど、きちんと状況を調べたうえで使用する縮小写像も捨てたもんじゃないな、と思いました。もし二分法でやったら、同等以上の精度に達するのに23回ほどかかります。

 

 

　Ｃ＝0.599942より(4)から、y'(0)＝1.095392です。これで普通に前進差分に持ち込めますが、じつはもう答えが出てます。図-4の計算表の最終段階は（n＝5）、表-2です。

 

表-2の面積計算は微分方程式(1)そのものです。積分はy＝0～1で行ったので、境界条件の半分はみたします。そしてΔＴの列は、yがある値に達するまでの経過時間tであり、y＝1でt＝1になるようにＣを決めたのでした。これはy＝y(t)の関数表じゃないですか！(^^)。

 

（執筆：ddt³さん）

 

今日のアニソン、巡音ルカの『ダブルラリアット』

今日のアニソンは、巡音ルカの『ダブルラリアット』です。

ネコは、かくも、可愛い生き物だケロよ。

なお、ルカが振り回すのは、フライパンではなくマグロなので注意するにゃ。

ガウス・ルジャンドルの方法

ガウス・ルジャンドルの方法

次の積分は

　　

は、

　　

と変数変換すると、置換積分によって

　　

と区間[−1,1]の積分に変換できる。

 

u(x)が2n−1次以下の多項式であるとし、で割った商をQ(x)、余りをφ(x)とすると、

　　

このとき、Q(x)、φ(x)ともにn−1次以下の多項式であるから、

　　

となり、

　　

である。

の根（零点）をとすれば、Lagrange補間によって

　　

ゆえに、

　　

ここで、

　　

とおけば、

　　

はルジャンドルの多項式によってのみ決まり、この値は次のような表で与えられている。

 

 

n=3のとき、

　　

 

この式は、u(x)が2×3−1次以下の多項式であるとき、を正確に計算する。

また、u(x)が多項式でない場合、u(x)を５次式で近似した定積分の値を与える。

 

例１

　　

この積分の値は、

　　

だから、小数点３位まで正確に計算できていることがわかる。

これは、台形公式や中点公式を用いて、積分区間[−1,1]を１００分割して、この積分の近似値を求めたものに匹敵する精度（下図参照）。

 

 

 

例２

　　

をガウス・ルジャンドルの方法で近似値を求めることにする。

積分区間が[1,2]だから

　　

とおくと、

　　

ここで、

　　

となるので、

　　

台形公式、中点公式で２５分割した際の精度に匹敵するものが得られるのでった。

 

計算に使用したのは、 
https://nemneko.blogspot.jp/2016/11/blog-post_14.html

 

「ところてん」をどうやって食べている？

今日、ブラゲロが「ところてん（心太）」を食べたらしいのだけれど、お前らはどうやって「ところてん」を食べている？

参考までに、
関東・東北　酢醤油
中部　三杯酢
関西　黒蜜　
四国　だし汁
で食べるのが一般的らしい。

ネムネコは、そんな食べ方をしないけれど、ネムネコの住んでいる新潟県の一部地域では、なんと、箸一本で「ところてん」を食べるにゃ。驚きだにゃ。

「ところてん」の食べ方
http://izukappa.com/tokomap/

で、ネムネコは、
「ところてんって、酢味噌で食べると、意外と美味しいんじゃない！？」
と新たな「ところてん」の食べ方を思いついた。

酢味噌だと、味噌味が少しくどく、しかも、味噌の味が後味として口に残るかもしれないので、さっぱり感、爽快感を出すために、柚子やライムなどの柑橘系を刻んだものを添えるといいかもしれない。酢の代わりにポン酢を使うといいかもしれない。――ここでいうポン酢とは、ポン酢に醤油を加えた「ポン酢しょうゆ」ではないので注意！！――

これから、「ところてん」を食べる予定のヒトは、是非この食べ方にチャレンジし、その感想を教えて欲しいにゃ。

今日はなんか暑いケロ！！

「オレの勘違いかもしれないけれど、今日はなんか暑いケロね」と思っていたら、ネムネコの住む新潟市の今日の最高気温は26.9℃もあったらしく、これは何でも７月上旬並みの暑さだとか。どうやら、ネムネコの勘違い、気のせいではなかったようだ。

各地で真夏日 22日も暑さ続く見込み 熱中症に注意を #nhk_news https://t.co/tAuWqKB8BN

— NHKニュース (@nhk_news) 2018年4月21日

明日、関東や東海地方などは今日よりもさらに暑くなるらしいから、「ねこ騙し数学」の訪問者は、熱中症に注意するにゃ。

お前らが熱中症にかかろうが、それでくたばろうが、そんなことはネムネコの知ったところではないけれど、お前らに倒れられると、「ねこ騙し数学」への訪問者数、ページビューが減少し、このブログのランキングが下がってしまうケロ。これは正直、困る！！
だ・か・ら、ネムネコならびに「ねこ騙し数学」のために、水分を補給するなどして、熱中症対策に十分心がけるにゃ。

特に、ブラゲロは、年齢が年齢で暑さを感じにくくなっていることに加え、明日、名古屋は３０℃を越え、真夏日になるらしいから、ホニャララの痩せ我慢をするのではなく、エアコンを付けたほうがいいと思うケロよ。

カツオ初水揚げ この30年余で最も早く 宮城 気仙沼 #nhk_news https://t.co/XSesCQgwM6

— NHKニュース (@nhk_news) 2018年4月21日

気仙沼では、１ヶ月も早くカツオの水揚げが始まったらしいから、

さらに、

ネムネコは、この時期のカツオは食べないにゃ。だから、マグロをヨロシク！！
ネムネコは、（クロマグロの）トロより赤身の方が好きなので、この点をくれぐれも留意するにゃ。クロマグロがダメならば、まっ、ミナミマグロでもいいが・・・。

タグ：暑い

今日のアニソン、「ピアノの森」から『Moonsshine〜つきあかり〜』

今日のアニソンは、映画「ピアノの森」から『Moonsshine〜つきあかり〜』です。

これしか、なかったから、我慢して欲しいにゃ。だからってわけじゃないけれど、このアニメ映画のPVを紹介するにゃ。

YouTubeにあるのだから、海賊版じゃ〜ないんだろう。映画もYouTubeにアップされているようなので、

４月から、NHK総合でアニメ「ピアノの森」の放送が始まったので、そちらのPVも紹介するにゃ。

ルジャンドルの多項式

ルジャンドルの多項式

 

§１　ルジャンドルの多項式とロドリゲスの公式

 

n−1次以下の全ての多項式Q(x)に関して

　　

となる多項式を求めることにする。

 

を2n次の多項式F(x)のn次の導関数とすると、

　　

が成り立つ。

すると、問題の条件は

　　

となる。

　　

とし、これを順次部分積分すると

　　

となるが、Q(x)はn−1次の多項式なので、

　　

よって

　　

これを（２）に代入すると、

　　

これは、

　　

のとき満たされる。

したがって、F(x)を

　　

にすればよいことがわかる。

故に、

　　

そして、

a=−1、b=1、すなわち、積分区間が[−1,1]のとき

　　

が得られ、これをロドリゲスの公式という。

（３）式は次のように展開することができる。

　　

たとえば、

　　

である。

 

§２　ルジャンドルの多項式の性質

 

ルジャンドルの多項式には次のような性質がある。

 

（１）　は、nが奇数ならば奇関数、nが偶数ならば偶関数

 

（２）　

【証明】

　　

右辺の最初の項と最後の項以外は(x−1)(x+1)で割れるので、

　　

ここで、G(x)は多項式である。

この式にx=1、x=−1を代入すると、

　　

（証明終）

 

【証明】

m≠nのときは、定義より明らか。

次に、m=nのときについて考える。

　　

ここで

　　

であるから、左辺=２である。

また、

　　

であるから、

　　

となる。

のの係数は、のの係数は

　　

故に、

　　

とおけば、Q(x)はn−1次以下の多項式。

よって、両辺にを掛けて積分すると、

　　

（証明終）

 

【証明】

ロドリゲスの公式より

　　

ライプニッツの定理より

　　

したがって、

　　

 

（５）　は次の微分方程式の解である。

　　

【証明】

とおくと、

これをn+1回微分すると、

　　

この式にロドリゲスの公式を代入すると、

　　

 

ちょっと、気になったので、「漫画村」について調べてみた

ネムネコは、これまで一度も利用したことがなく、「漫画村」がどのようなものか分からなかったので、ちょっとネットで調べてみた。そうしたら、こんな記事を見つけた。

「漫画村」ほか違法サイトへの広告配信問題と、NHKが取り上げるアドフラウド問題について
https://goo.gl/DVm4Kv

　本件のような大規模な海賊版サイトを支えるためには、コンテンツを配信するCDN（コンテンツ・デリバリー・ネットワーク）を維持するコストが必要になりますし、広告を適切に配信するためには技術的なバックグラウンドが必要になります。これが、上記「裏広告」のようなアドフラウド問題に直結することになります。
（中略）
　「漫画村」など関連サイトの取引を割れた口座から追いかけていくと、積極的に広告仲介をしている企業が22社判明します。中でも、電子コミックを運営するNTTソルマーレ社や大手アダルト会社DMM.comなど大手企業の広告配信を担当していたBOOST社、グローバルネット社、アドスタイル社などは、著作権法上問題のある「漫画村」など関連サイトへの営業を実施していたという点で、ある種の幇助になってしまっていたのではないかとみられます（各社とも、筆者の取材に対して回答なし）。
（中略）
　しかしながら、同様に広告技術を提供をしていたとみられるアキナジスタ社や、「漫画村」と組んでメディアレップとして営業をしていたグローバルネット社の子会社エムエムラボ社などはいずれも取材を拒否しています。配信技術の内容や取引情報からこれらの会社が関与していたことはほぼ確実とみられ、違法の疑いのあるサイトと知りつつ広告主に対して直接バナーを提供する直接取引を営業していた可能性が否定できません。
https://goo.gl/DVm4Kv

この記事を読むと、どうやら、「漫画村」はアドフラウド（Ad Fraud 広告詐欺）で稼いでいたようだね。

かねがね、「コンピュータシステムなどに関係する会社が漫画村やAniTubeなどに技術支援をしているはずだ。そうでなければ、こんなシステムを維持できるわけがない」と思っていたけれど、やっぱりそうだったのか（笑）。
しかも、上場されている広告仲介企業までこの不正に深く関係している。
この病巣、闇は深いね〜。

悪魔のアドフラウド14の手法まとめ ―― いまのネット広告は落とし穴だらけ！
https://goo.gl/WBV8SG

追跡！ 脅威の“海賊版”漫画サイト
https://goo.gl/RP9a16

今日のアニソン、「侍ジャイアンツ」から『侍ジャイアンツ』

今日のアニソンは、アニメ「侍ジャイアンツ」から『侍ジャイアンツ』です。

聞くのが恥ずかしい曲だけれど、思わず、鼻歌で歌っちゃいそうな曲だケロね。