ルジャンドルの多項式

ルジャンドルの多項式

 

§１　ルジャンドルの多項式とロドリゲスの公式

 

n−1次以下の全ての多項式Q(x)に関して

　　

となる多項式を求めることにする。

 

を2n次の多項式F(x)のn次の導関数とすると、

　　

が成り立つ。

すると、問題の条件は

　　

となる。

　　

とし、これを順次部分積分すると

　　

となるが、Q(x)はn−1次の多項式なので、

　　

よって

　　

これを（２）に代入すると、

　　

これは、

　　

のとき満たされる。

したがって、F(x)を

　　

にすればよいことがわかる。

故に、

　　

そして、

a=−1、b=1、すなわち、積分区間が[−1,1]のとき

　　

が得られ、これをロドリゲスの公式という。

（３）式は次のように展開することができる。

　　

たとえば、

　　

である。

 

§２　ルジャンドルの多項式の性質

 

ルジャンドルの多項式には次のような性質がある。

 

（１）　は、nが奇数ならば奇関数、nが偶数ならば偶関数

 

（２）　

【証明】

　　

右辺の最初の項と最後の項以外は(x−1)(x+1)で割れるので、

　　

ここで、G(x)は多項式である。

この式にx=1、x=−1を代入すると、

　　

（証明終）

 

【証明】

m≠nのときは、定義より明らか。

次に、m=nのときについて考える。

　　

ここで

　　

であるから、左辺=２である。

また、

　　

であるから、

　　

となる。

のの係数は、のの係数は

　　

故に、

　　

とおけば、Q(x)はn−1次以下の多項式。

よって、両辺にを掛けて積分すると、

　　

（証明終）

 

【証明】

ロドリゲスの公式より

　　

ライプニッツの定理より

　　

したがって、

　　

 

（５）　は次の微分方程式の解である。

　　

【証明】

とおくと、

これをn+1回微分すると、

　　

この式にロドリゲスの公式を代入すると、