超越方程式の近似解法

超越方程式の近似解法

 

f(x)は何回でも微分可能な関数とする。

方程式

　　

の一つの解をαとすると、

　　

さて、点x₀でテーラー展開すると

　　

２次の項を無視し、さらに、f(x)=0とすると、

　　

という近似式が得られる。

幾何的に言うと、(x₀,f(x₀))におけるy=f(x)の接線の方程式は

　　

だから、接線のx切片は

　　

つまり、関数f(x)をx₀におけるf(x)の接線で近似し、その接線のx切片を方程式f(x)=0の近似値としている。

 

（１）式で得られたxをx₁とし、

　　

と、さらに

　　

と逐次的に計算し、方程式f(x)=0の解αを数値的に求める方法をニュートン法（ニュートン・ラプソン法）という。

 

問１　ニュートン法を用いて、0と1の間にある

　　

の（近似）解を求めよ。

【解】

　　

x₀=0とすると、（２）式より

　　

x₁=0.5だから、

　　

x₂=0.61だから

　　

よって、x=0.619が解である。

（解答終）

 

このように、ニュートン法は数回の計算で方程式f(x)=0の近似解を求めることができる。

 

しかし、一々、を計算することが面倒な場合、（２）式ではなく

　　

を用いて、f(x)=0の近似解を求めることもできる。

この方法をvon Mises法という。

 

問２　von Mises法を用いて、0と1の間にある

　　

の（近似）解を求めよ。

【解】

　　

x₀=0とすると、

　　

したがって、（３）式より

x₁=0.5とすると、

　　

以下、同様に

　　

よって、x=0.619

（解答終）

 

上の問からわかるように、一般に、von Mises法はニュートン法よりも収束速度は遅い。

 

下図のように、方程式f(x)=0の解αがの間にあるとする。

 

 

このときを結ぶ直線の方程式は

　　

このx切片を求めると、

　　

とすると、

　　

という漸化式が得られる。

このように、１次補間を用いて、f(x)=0の（近似）解を求めることもできる。

 

問３　（４）を用いて、0と1の間にある

　　

の（近似）解を求めよ。

【解】

x₀=0、x₁=1として表計算ソフトを用いて計算した結果を以下に示す。

 

 

（解答終）

 

上の表のn=3のとき（黄色の行）、解は0とx₃≒0.497の間に存在せず、そのため、n=4（水色の行）のとき、外挿によって方程式の解の近似値が計算されていることに注意。x₀とx₁の選び方によってはこのようなことが起きる。

ニュートン法ほど速くないけれど、それでも、５〜６回ほどの計算で収束していることがわかる。