お前らに問題！（５月１６日） 微分方程式

お前らに問題！

 

問題　次の問に答えよ。

（１）　次のyの線形微分方程式

　　

の１つの特殊解がy₁であるとき、一般解は

　　

であることを示せ。

 

（２）　y₁=ax+bの形である、微分方程式

　　

の特殊解y₁を求めよ。

 

（３）　微分方程式②の一般解を求めよ。

 

 

こんな問題はチョロいぜというヒトは、

微分方程式①の形式解が

　　

であることを示し、これを用いて、②の一般解を求めよ。

そして、（３）で解いた一般解と一致することを確かめよ。

【注意！ 警告！！】

 

言っておきますが、

　　

の一般解に①の特殊解y₁を加えたものが①の一般解

といった（１）の解答は認めない。

これを使いたいのならば、まず、

　　①の一般解＝③の一般解＋①の特殊解y₁

であることを示してから使うように。

 

ネムネコ、すごろくゲームで単独最下位に！！

So-netにある「すごろくゲーム」を毎日やっている、という話を、これまでに何度もしたと思うけれど、

ネムネコ、すごろくゲームで単独最下位に！！

１万２千人以上のヒトが参加していて、単独最下位。ネムネコは、「確率1/100の不幸を日常的に引き寄せる程度の能力」の持ち主だと公言してきたけれど、またやってしまったケロ。「やっぱ、オレは凄い。何か憑いている」と、ただただ苦笑いするばかり。なんたって、こういうものは狙ってなれるもんじゃないからね〜。

性格的には、「人間を幸運にする程度の能力」の持ち主である東方の「てゐ」に似ていると思っているんだけれどね〜。

「てゐ」も結構、ひどい目にあっているから、実は、「てゐ」は自身のシアワセ、幸運を他者に分け与えているのかもしれないね〜。だとすれば、ネムネコにこうも次々と不運が舞い降りるのは、ネムネコが他者に自身の幸運を分け与えているに違いない。きっと、そうだにゃ。

ネムネコの頭の中でこの曲が鳴り響いている（笑）

11:50AMくらいから、何故か、ネムネコの頭の中でこの曲が鳴り響いている（笑）。

思考の流れが、一旦、止まると、本当に、この曲が鳴るんだケロ。何故だろう？

その理由はともかく、ネムネコの真性の同胞（はらから）？である、けものフレンズのネコ科フレンズによるこの曲を♪

東方にも、「お燐」や「橙」などの仲間がいるんだけれど、何故か、東方ネコ科による「すーぱーぬこわるど」の動画が存在しない。

ということで、仕方がないので、この動画を・・・。

どうやら、ネムネコの脳ミソが暴走しているようだにゃ。

高校生のときは、眠ろうとすると、数式が頭の中を駆け巡て寝つけないことが、結構、頻繁に起こっていた。ひょんな出来事からすぐに暴走をはじめ、暴走がなかなか止まらないんだから、困ったもんだケロよ、ネムネコの脳ミソには。

今日のアニソン、まふまふの『ねこがまるくなった』

今日のアニソンは、『ねこがまるくなった』です。

「まふまふ」というヒトがどのようなヒトなのかについてはまったく知りませんが・・・。

この曲の試聴会数は、何と６００万超え。凄いにゃ。

対流と拡散 第３回 指数法

対流と拡散　第３回　指数法

 

　　

拡散係数Γが一定のとき（１）は解析的に解くことができ、境界条件が

x=0でφ=φ₀

x=Lで

ならば、（１）の解は

　　

になる。

ここでPは次式で定義されるペクレ数である。

　　

 

ところで、

　　

とおくと、（１）式は

　　

となる。

これをコントロールボリュームで積分すると、

　　

（１）式の厳密解のφ₀とをそれぞれに、さらにLをに置き換えて、代入すれば

　　

ここで、

　　

同様に、

　　

（７）、（８）を（６）に代入すると、

　　

これから、次の離散化方程式が得られる。

　　

この離散化された方程式を用いて、（１）式の数値解を求める方法を指数法という。

 

拡散係数Γが一定のとき、丸め誤差などを無視すれば、指数法は、計算領域の分割数にの大小にかかわらず、定常一次元問題に関して、厳密解と一致する。

 

この指数法は、コンピュータの計算能力が低いとき、

　（１）　指数関数の計算に時間がかかる

　（２）　２次元、３次元問題、生成や消滅を表す生成項Sが存在するときに厳密でない

などの理由から、実際の数値計算の現場で使われることがなかった方法。

しかし、コンピュータの能力が飛躍的に向上した現在、（１）は指数法を使わない理由にならないよね(^^)

 

 

お前ら、大至急、この問題を解くにゃ。

お前ら、次の問題を解いて、その答を大至急、ネムネコのもとに送るにゃ。

 

問題

　　

ここで、ρu、Γ、Sはすべて定数とする。

（１）　上の微分方程式の一般解を求めよ。

（２）　次の境界条件を満たす解を求めよ。

　

 

直観的に、（１）の一般解は

　　

ここで、AとBは任意定数で、

　　

 

（１）の解き方は・・・

 

【解法１】

①の両辺を積分すると、

　　

②の両辺にをかけると

　　

この両辺を積分すると、

　　

部分積分しないといけないから、この解法１は面倒になるような、ならないような・・・。

 

【解法２】

　　

の２階線形微分方程式の基本解を求め、その一般解を求める。

特性方程式

　　

を解いて一般解を求めてもよし、③の両辺を積分し、

　　

として変数分離法を使ってもよし。

で、

　　

は微分方程式①の特殊解だから――④が本当に特殊解かであることを確かめろ。ひょっとしたら間違っているかもしれない(^^ゞ――、③の一般解に④を加えたものが①の一般解・・・。

 

などなど・・・。

⑨を①の左辺に代入し、それが右辺のSと等しいことを示しても良いが・・・。

ひょっとしたら、⑨は間違っているかもしれない(^^ゞ

 

どうやって①の一般解を求めようが、それは構わないけれど、とにかく（２）の境界条件を満たすように定数A、Bの値を定めろ！！

そして、この記事のコメント欄に解いた答を書き、ネムネコのところに送信する。

数日後にこの結果を使いたいんで、お前ら、この問題を解くにゃ。

お前ら、オレの計算力のなさを知っているだろう。だから、これはネムネコのためではなく、お前ら自身のためなんだから。

 

ひょっとしたら、この問題、機械系や化学工学系の大学院入試に出るかもしれない。だから、機械系や化学工学系の学生ならば、この問題を解いて損はないはずだ！！

たぶん、こうなるはずだが・・・。

　　

お前らのことを一瞬でも頼りにしようとしたネムネコが⑧以下であったにゃ。