で、どうよ。結論が出たケロか？

で、どうよ。

問題　次の微分方程式を解け。

の、（１）と（２）は同じ微分方程式だった？。そして、（１）と（２）の解はどう出た。

ここの訪問者は、ddt³さんなどを除き、シャイで無口だから、こういう風にしつこく聞くしかないにゃ。

どうよ、白黒がついたかい？

（１）、（２）を同じ微分方程式としても、（１）と（２）は別の微分方程式としても、オレはドッチでも構わないケロよ。

――式（２）の右辺を見たら、x≠0を微分方程式の定義域から除外するのが「ふつう」だと思うけれど、

　　ネムネコは「ふつう」じゃないから、「ふつう」じゃないものの「ふつう」ということで、

　　実は、異常、特殊、「ふつう」じゃないのかもしれない(^^ゞ

　　すくなくとも、x=0という点は、微分方程式（２）の特異点であることだけは確かである。――

そして、答は、（１）、（２）ともにy=Cx、（１）はy=Cx、（２）はy=Cx（x≠０）としても、その他でもいいにゃ。たとえば、（２）の解を

　　

としても・・・。

　　――ネムネコが学生で、テストに微分方程式（２）を解けという問題が出たら、

　　　　減点されたらかなわないので、

　　　　迷うことなく、y=Cxと答案に書く！！――

オレは、変数分離法をはじめとする微分方程式の解法、つまり、求積法には、実は結構いい加減、胡散臭いところがあるんだよ、ということを話したかっただけだから。そして、考える材料を提供しただけケロ。
細かいことを気にしたら、微分方程式の（いわゆる）一般解なんて求められないケロ（笑）。

でもさ〜、まったくの無反応は寂しいケロね。

今日のアニソン、「イロドリミドリ」から『無敵We are one!!』

今日のアニソンは、「イロドリミドリ」から『無敵We are one!!』です。

さらに、この曲を♪

お前らに質問（５月２３日） 微分方程式２

お前らに質問！

 

これまでに何度も登場している次の微分方程式がある。

　　

この微分方程式は、変数分離法を使って、次のように解くものとされている。

 

定数関数y=0が微分方程式の解であることは明らか。（←この部分は、省略されることが多い。）

y≠0のとき、

　　

ここで、

　　

とおくと、

　　

C=0とすると、定数関数y=0になるので、

　　

 

ここで取り上げたいのは、下線を引いた「y≠0のとき」の意味である。

これは、次の２つの意味に解釈できるだろう。

 

１　定数関数y=0は除く。

２　yが0になることは決してない。つまり、y=y(x)=0となるx∈R（実数全体の集合）は存在しない。

 

もし、「y≠0のとき」が２の意味であったとしたら、定数関数y=0を除き、微分方程式①の解は「y=y(x)=0となるxが存在しない」ことを証明しなければならないのではないだろうか。

あるいは、y=y(x)=0となる点xが存在する場合の微分方程式の解についても求める必要があるのではないか。

というのは、そんな解は存在しないが、上の解き方では、定数関数y=0と決してy=0にならない微分方程式①の解は求めてあるが、ある点でy=0になる微分方程式の解を求めていないのだから。

 

ということで、

お前ら、y=0という定数関数以外、微分方程式①の解は決して0にならないことを示せ！！

証明ではなく、説明でもいいにゃ。

なお、微分方程式の解の一意性定理を使った回答は認めない。

そして、できた奴は、コメント欄に回答を書いて、ネムネコのところに送信するケロ。

 

ところで、

次の微分方程式

　　

の一般解は

　　

で、x=Cのときにy=0になってしまう。

だからといって、点x=Cを除外したりしない。

 

この点について、稲葉三男は自らの著書「微積分の根底を探る」の中で次のように書いている。

 

ところで、微分方程式③の一般解

　　

は、y≠0として求めたものであるが、決して0にならないわけではなくて、x=Cのとき、y=0となる。それだからとて、x=Cの場合が除外されるわけではない。したがって、この場合には、yはただ１箇所の例外のもとで0になることがある。

（中略）

上に見たように、「一般解」を求めるために、y≠0と仮定したのは、最初はyは決して０とならない意味であったのが、後になってくると、y=0となることもあるということに変わってくるのである。これでは、首尾一貫しているというわけではなくなって、はなはだ確実性に欠ける推論であると言わざるを得ない。

（中略）

―――つまるところ、いいたいことは上のような解き方にも問題があるということか。

まさにそのとおりである。上のような解き方は「求積法」と呼ばているのであるが、「求積法」だけではどうにもならない問題点があるというわけである。

 

 

ネムネコが高校時代に使っていた某参考書には、

「微分方程式（の解法）では、関数の形（を求めること）が目的だから、（関数y=y(x)の）個々の値は問題にしなくてよい（定数関数y=0以外でも、y=0になる点xがあっても問題にならない）。」

と、１の意にそった注意書きがなされているが、何とも説得力不足のように思えるのだが・・・。

 

この詮索はさておき、C=0、つまり、x=0のときy=0とし、これを初期値として、微分方程式③をオイラー法やルンゲ・クッタ法などを用いて数値解を求めると、コンピュータはy=0という定数関数を返してくれるはずである。

これはコンピュータが計算を間違っているわけではなく、定数関数y=0は微分方程式③の特異解だからだ。オイラー法とルンゲ・クッタ法は、一般解④の任意定数C=1とした特殊解y=x³ではなく、特異解y=0を答えてしまうんだよ〜(^^)

このことは、次のグラフを見るとわかるだろう。

y=0、つまり、x軸と一般解y=(x−C)³はすべて点(C,0)で接している。つまり、特異解y=0は一般解y=(x−C)³の包絡線になっているんだにゃ。

 

 

 

x<−5のときは、曲線y=(x+5)³にそって進んでいたが、x軸（一般解の包絡線、特異解）に接した瞬間、「何か、ここ、飽きたにゃ」と、突如、x軸を進み始め、y=x³に接した瞬間、「ここが良さそうだ」と、y=x³上を進みだすこともあるかもしれない（笑）。

実は、これ、

　　

も微分方程式③の解だ。任意定数は１つも含まないけれど、これは一般解に特別な値を与えて得られたものではないから、微分方程式のよもやま話１の分類法に従って強いて分類すれば、特異解(^^ゞ

 

それにしても、何故、こんなことが起きた(・・?。 １の意味だと、定数関数y=0でなくても、y=0となる点xが存在し、それゆえに、変数分離法の④の計算で数学の大禁則・ゼロ割が発生し、それで不定になってしまうのか(^^ゞ
y≠0のとき、

ここで、Cを−Cとおくと、

 つまり、x₀<Cとするとき、たとえ、曲線上の点が与えられても、この初期条件と微分方程式③から”それ”の”未来の選択”を予測することはできないんだケロ。（C,0)という点は、”それ”のその後の行方を決定するまさに分岐点、その後の人生の分かれ道なんだにゃ。そして、その選択肢は数限りなくに存在するんだケロ。

 

 

 

初期条件(−1,−8)を与えたとき、微分方程式③から、コンピュータはいったいどのような”それ”の未来を描き出してくれるのだろうか(^^)

 

で、問題を解けたのか？

で、お前ら、昨日、出題した次の問題を解けたのか？

 

問題　次の微分方程式を解け。

 

（１）と（２）は、ひょっとしたら、違う微分方程式かもしれないぞ。

だって、（１）はオイラー形の微分方程式だし、（２）は同次形の微分方程式だし・・・(^^)

 

（１）の微分方程式で与えられる関数yの定義域は実数全体の集合Rで、（２）の微分方程式で与えられる関数yの定義域は実数全体の集合Rからx=0を除いた、R−｛０｝かもしれない。（２）は分母にxが来ているから、その可能性は十分あるケロよ。

だって、（２）の右辺を

　　

と書き換えれば、関数fの定義域はと考えのが自然で、この可能性は極めて高いにゃ。

だとしたら、（２）の答は

　　

かもしれないケロよ。

　　

でいいのだから、必ずしもC₁=C₂でなくて構わないってわけだ。

 

で、（１）、（２）の微分方程式をどうやって解いたんだ？

変数分離法を用いて解いたのならば、

「x≠0、y≠0のとき」という「おまじない」をきっと唱えたと思う。

だって、これを書かないと、

　　

が成立しないにゃ。対数関数の定義域に0は含まれないからだケロ。

それに、計算途中でy/xというものがでているから、x≠0でなければならない。

 

では、ここで改めて聞くにゃ。

お前らの求めた解にx=0のときのものは含まれているケロか？

含まれないのだとしたら、x=0のときのyの値を求めないといけないけれど、どうやって求めるにゃ。

 

と、惑わし、脅かす、ネムネコであった。

 

お前ら全員、まとめて、混沌の淵に突き落としてやるにゃ。