お前らに問題！（５月１６日） 微分方程式の問題の解答 [微分方程式の解法]
お前らに問題！（５月１６日） 微分方程式の問題の解答
問題 次の問に答えよ。
（１） 次のyの線形微分方程式
の１つの特殊解がy₁であるとき、一般解は
であることを示せ。
（２） y₁=ax+bの形である、微分方程式
の特殊解y₁を求めよ。
（３） 微分方程式②の一般解を求めよ。
【解答】
（１） ①の特殊解の一つをy₁とすると、
である。
①の辺々を③で引くと、
これをy−y₁について解くと
（２） y₁=ax+bは②の特殊解なので、
よって、
（３） ②式より、
（解答終）
ところで、①の両辺に
をかけると、
したがって、
ここで、
とおけば、②が得られる。
この問題の場合、P(x)=−1、Q(x)=xだから、
となり、（２）で求めた特殊解と一致する。
さらに、
なる微分演算子Dなるものを定義すると、問題の微分方程式③は
と書き換えることができる。
そこで、この微分演算子Dを実数のように考えると、上の式の両辺をD−1で割り、さらに
を次のようにマクローリン展開すると、
になる。
したがって、
このようにして、微分方程式③の特殊解の一つを求めることもできる。
