今日のアニソン、「ハヤテのごとく！Cuties」のイメージソング、『雨色笑顔』 [今日のアニソン]
さらに、雨がタイトルにつくこの曲を♪
微分方程式よもやま話３ 「一般解の怪奇」現象から逃れる術（すべ） [微分方程式の解法]
微分方程式よもやま話３ 「一般解の怪奇」現象から逃れる術（すべ）
少し前に、微分方程式
の一般解は、微分方程式の解き方によって、異なる２つの一般解が得られるという話をした。
解法１
y≠0、y≠1のとき、
解法２
の両辺に−１を掛けると
そして、（２）を微分方程式の一般解とすると、定数関数y=1は、一般解（２）にC₁=0という特定な値を与えたものなので、y=1は特殊解（特別解）であり、C₁にいかなる値を与えても微分方程式の解の１つである定数関数y=0は表わせないので、y=0は特異解になるという話をした。（y=0はx→∞のときの（２）の漸近線である。）
さらに、（３）を微分方程式の一般解とすれば、定数関数y=0は一般解（３）にC₂=0を与えることによって得られるのでy=0は特殊解、C₂にいかなる値を与えても定数関数y=1にはならないのでy=1は特異解（y=0は、x→−∞のときの（３）の漸近線である。）。また、（２）と（３）は別の関数であるという話をした。
一階の微分方程式
の一般解は１つに限るという法はないにゃ。微分方程式（４）の一般解はただ１つに限ることの理論的な根拠なんて、実は、どこにもないケロ。
（１階常微分方程式の）「解の一意性」定理を根拠にあげるヒトもいるかもしれないけれど、この定理は「カクカクシカジカの条件のとき、y₀=y(x₀)となる解y(x)が、ホニャララの範囲に１つある」と言っているのであって、微分方程式（４）のすべての解を任意定数を１つもつ関数で表せる、いわゆる「一般解」とされるものがただ１つだけ存在するといっているわけではないケロ。
だいたい、特異解y=0（またはy=1）が存在する時点で、この願望、幻想は木っ端微塵に打ち砕かれているにゃ。
だから、いわゆる「一般解」なるものが２つあっても、何ら不都合はないケロ(^^ゞ
それはそれとして、
y≠0、y≠1のとき、（２）式と（３）式は見た目はすこし違うけれど、実は同じ式。
というのは、この条件下ではC₂≠0であり、
と書き換えられる。
1/C₂≠0の実数だから、
となるC₁≠0が存在する。
このC₁をとれば、（３）式は
と表せる。
（この条件下では（２）式の任意定数C₁もC₁≠0である。ここがポイント！！）
考えてみれば、これは当たり前の話。
だって、解法２は
として一般解（３）を求めたものなんだから。
C₁=1/C₂、あるいは、C₂=1/C₁としたとき、（２）から（３）、（３）から（２）が導かれなければおかしいにゃ。
ということで、
y≠0、y≠1のときの微分方程式（１）の解はすべて
と１つの形に書け、そして、これがこの条件下での一般解になる。
ここまではいい。
しかし、（７）のCにC=0という絶対に与えてはいけない値を与えると、運良く（あるいは運悪く(^^ゞ）、定数関数y=1になってしまう。
C≠0、すなわち、「−∞<C<0または0<C<∞」にあらたにC=0を加え、「−∞<C<∞」と拡張するのは自由だけれど、これをやっちゃうと、
に対応するC₂は存在しないので、一般解には（２）と（３）の２つのタイプが存在するという奇妙な現象、稲葉三男の言葉を借りるならば、「一般解の怪奇」現象が発生してしまう。
要するに、一般解（７）の任意定数をC≠0から実数全体に拡張し、微分方程式（１）の一般解を
と拡張し、定数関数y=1を（８）の特殊解にしたのがまずかった。
（７）を微分方程式（１）の一般解とし、定数関数y=0、1を特異解のままにしておけば、「一般解の怪奇」現象は発生せず、稲葉三男の「微分方程式から一般解を追放しろ」という批判の一部を交わすことができたんだにゃ(^^)。
と同時に、「何故、定数関数y=1は特殊解なのに、定数関数y=0は特異解なのか」という哲学問答に近い質問を永遠に封じ込めることができる。
つまり、一般解（８）は無用な拡張どころか、様々な災いをもたらす、決して開けてはならないパンドラの匣であり、「舌切雀」で欲深いお婆さんが開けてしまった箱であった。（魑魅魍魎がたくさん詰まった箱を開けてしまったお婆さんは、その魑魅魍魎たちに食べられてしまう！！）
さてさて、「y≠0、y≠1のとき」の意味は、y=y(x)=0という関数はけっしてy=0、y=1という値を取らないの意味。
そして、上の解法では、「定数関数y=0、y=1以外に、y=0またはy=1の値をとる微分方程式（１）の解は存在しない」ということを示していない。
つ・ま・り、微分積分などの教科書に書いてある、上のような解答には大きな穴があると言わざるを得ないでしょう。
「微分方程式を解くとは、関数の形（一般解のこと？）を求めることだから、関数の個々の値は問題にしない（ので、これでよい）」という説明では、とても安心できないと思う。
ということで、この大きな穴を埋めて欲しい。
証明すべきことは、定数関数y=0、y=1以外に、y=0またはy=1の値をとる微分方程式（１）の解は存在しない、ということ。
そうでないと、微分方程式（１）を完全に解いたということにはならないと思う。
「こんな簡単な微分方程式も解けないのか」と笑われないために、是非、この問題にチャレンジして欲しいにゃ。
考えるネムネコ 微分方程式を眺め、かく考えリ [ひとこと言わねば]
考えるネムネコ 微分方程式を眺め、かく考えり
次の微分方程式を眺めていて、「この式から、この解の曲線を、ある程度、正確にイメージできるヒトはいるのだろうか」と疑問に思った。
オレにはできないけれど、上の微分方程式の微分方程式を解かずに、（１）を眺めて、このおぼろげな概形を頭の中で、あるいは紙と鉛筆を使って描くんだケロ。
このブログの訪問者の中に、「オレはできるよ」というヒトがいたならば、是非、その方法、コツをご伝授して欲しいにゃ。
（１）式の中に、この曲線の外見の手がかりがまったくないわけではない。
dx/dt=0とすれば、x=±１だから、xが極値をとるとすれば、おそらく、x=1は極大値、x=−１が極小値になりそうだとか・・・。
さらに、−1<x<1のとき、x=x(t)は増加し、x<−1、x>1で減少する。
これくらいのことは見てすぐにわかる。
（１）を（頭の中で）tで微分すると、
この曲線に変曲点があるとすれば、x=0、x=±1になるところだとか。この曲線の凹凸だってわかる。
そして、この（２）式にx＝±1を代入すると、
になることから、x=±1が極値という線はどうやら消えたな・・・。
――そりゃそうだ。定数関数x=±1は（１）の特異解で、これは（１）の一般解の漸近線であり、したがって、（１）の一般解は極値を持たない。こんなことは、考えるまでもなく、わかりきったことではないか！！――
このあたりが限界だね〜。こうした情報をもとにしても、オレは、下の図まではなかなか（思い）描けない。
赤い曲線は、ある程度想像がつくけれど、青い曲線まではちょっと無理だな〜。
（赤と青の曲線がx=±1に接しているように見えるけれど、x=±1はこの２つの漸近線なので絶対に接しない！！）
そして、、絶対にくっつかない赤い曲線と青い曲線を無理やり一本の曲線にくっつけようと悪戦苦闘し、「うまくくっつかないケロ」と頭を抱え、身悶えする（笑）。
さらに、試行錯誤の後、深い絶望に襲われる。
２本の交わることのない曲線なんだから、そりゃ〜、いくら頑張っても、すべて辻褄が合う、一本の滑らかな曲線にすることはできないケロ。
もう、「一本の曲線になるもの」と思い込んでいるから、一度、陥った思考の袋小路から抜け出すことができないんだケロ。
いや〜思い込みというものは恐ろしいにゃ。
と同時に、能力と才能の限界をつくづくと思い知らされた。
なお、この（１）の一般解は
図の青い曲線はC<0のときで、赤い曲線はC>0の場合。
そして、C=0とおくと、特異解の１つであるx=−1と一致する。
C≠0とし、（３）の右辺の分母分子をCで割り、さらに、D=1/Cとおけば、
そして、D=0とすれば、x=1に一致し、今度はx=−1だけが特異解ということになる。
一般解は（３）と（４）のどちらでもいいのだけれど、（３）を採用するほうが多数派だと思う。
赤い点は赤い曲線の変曲点で、この曲線とt軸の交点が変曲点になる。（３）を２回微分して変曲点のt座標をを求めるよりも、（１）式を微分した方がずっと簡単に求めることが出来てしまうんだにゃ。
x=0の時なのだから、（３）からすぐに変曲点のt座標は求まるよね。
このように、裏技的に迫ったほうが簡単な場合もあるという話。
言っておくけれど、赤と青の曲線を繋げようという不可能を可能にしようとする試行錯誤、悪戦苦闘は、微分方程式（１）を見て、頭の中で一般解（３）を求めた後の出来事だからね。
それどころか、
お絵かきソフトを使って、この曲線群をかかせたあとの話だよ。
なのに、何で一本の曲線で繋げるという発想が浮かんだんだろう。
我ながら不思議でたまらない。
オレは、このとき、いったい何を考えていたんだろう。どんな幻想に囚われていたのだろう。
ということで、同じ過ちを二度と繰り返さないために、微分方程式を解かずに、要するに手抜きをして、こうした曲線のおぼろげな概形を思い描くコツ、方法というものがあったら、教えて欲しいんだにゃ。
ddt³さんは、位相図を書いて、現象を捉えようとしているから、位相図などからこうした曲線の概形を思い描けるのかもしれない。きっと何かコツみたいなものがあるんだろうな。
どうやら、「鵜の真似をする烏」の失敗を犯したようだにゃ。慣れないこと、出来もしないことをやろうとしたのが間違いの元であった。
