今日のアニソン、「イロドリミドリ」から『ハート・ビート』

今日のアニソンは、「イロドリミドリ」から『ハート・ビート』です。

さらに、この曲も♪

高校の微分 関数方程式

高校の微分　関数方程式

 

問題１　連続関数f(x),g(x)がすべての実数x、yについて、つぎの性質をもつ。

このとき、つぎのことを証明せよ。

 

この問題を見ると、

　　

とすると、この条件をすべて満たすことがわかるが・・・。

 

【解】

（a）　y=xとすると、（３）式より

　　

 

（b）　y=−xとすると、

　　

 

（c）　

　　

ここで、g(x)は偶関数で、g(0)=1だから、

　　

また、問題の条件より

　　

よって、

　　

（解答終）

 

 

問題２

　　

がつねに成り立つような２つの関数S(x)、C(x)について、次の問に答えよ。

（１）　

（２）　S’(0)、C’(0)が存在すれば、S’(x)、C’(x)が存在して、

　　

【解答】

（１）　x=y=0とすると、

　　

①より、

　　

C(0)=1/2は

　　

を満たさない。

よって、S(0)=1。

②より、C(0)=0またはC(0)=1。

③より、C(0)=−1またはC(0)=1。

よって、C(0)=1。

 

（２）

　　

また、

　　

（解答終）

 

S'(0)=1、C'(0)=0とすると、問題２の（２）より、

　　

①＋②は

　　

①−②は

　　

③と④より、

　　

⑤と⑥を双曲線関数といい、

　　

で表し、

　　

など、三角関数とよく似た性質を有する。