対流と拡散 第３回 指数法

対流と拡散　第３回　指数法

 

　　

拡散係数Γが一定のとき（１）は解析的に解くことができ、境界条件が

x=0でφ=φ₀

x=Lで

ならば、（１）の解は

　　

になる。

ここでPは次式で定義されるペクレ数である。

　　

 

ところで、

　　

とおくと、（１）式は

　　

となる。

これをコントロールボリュームで積分すると、

　　

（１）式の厳密解のφ₀とをそれぞれに、さらにLをに置き換えて、代入すれば

　　

ここで、

　　

同様に、

　　

（７）、（８）を（６）に代入すると、

　　

これから、次の離散化方程式が得られる。

　　

この離散化された方程式を用いて、（１）式の数値解を求める方法を指数法という。

 

拡散係数Γが一定のとき、丸め誤差などを無視すれば、指数法は、計算領域の分割数にの大小にかかわらず、定常一次元問題に関して、厳密解と一致する。

 

この指数法は、コンピュータの計算能力が低いとき、

　（１）　指数関数の計算に時間がかかる

　（２）　２次元、３次元問題、生成や消滅を表す生成項Sが存在するときに厳密でない

などの理由から、実際の数値計算の現場で使われることがなかった方法。

しかし、コンピュータの能力が飛躍的に向上した現在、（１）は指数法を使わない理由にならないよね(^^)