第２４回 テーラー展開

第２４回　テーラー展開

 

 

定理　（テーラーの定理）

f(x)がa、bを含む区間Iでn回微分可能ならば、aとbの間の適当なcを選べば

　　

が成り立つ。

【証明】

　　

とし、F(a)=f(b)となるように定数Kを定める。

すると、F(a)=F(b)=f(b)となり、F(x)はロールの定理の条件を満たす。

F(x)を微分すると、

　　

したがって、ロールの定理より

　　

を満たすcがaとbの間に存在し、b≠cだから

　　

である。

ゆえに、

　　

（証明終）

 

n=1とすると、平均値の定理が得られる。

また、

b=x、とおき、（１）を書き換えると、

　　

ここで、はラグランジュの剰余項である。

 

関数f(x)が級ならば、すべてのnについて（２）が成り立つ。よって、

　　

となる点では、

　　

となる。この級数をf(x)のx=aまわりのテーラー級数という。

特に、a=0としたときのテーラー級数

　　

をマクローリン級数という。

 

問１　次の関数をマクローリン展開せよ。

【解】

（１）　のn次導関数は

　　

だから、

　　

 

（２）　のn次導関数は

　　

だから、

　　

 

（３）　とおくと、

　　

だから、

　　

（解答終）

 

　　

 

であることに注意。

 

ここで、さり気なく、のマクローリン級数の収束の証明をせずに、次の公式を提示する。

 

 

無限級数、べき級数のところで、無限級数の収束判定法を紹介するので、それまで保留ということで。

 

 

問２　次の関数をマクローリン展開せよ。

【解】

（１）　f(x)=sin xのn次導関数は

　　

だから、

　　

したがって、

　　

 

（２）　f(x)=cos xのn次導関数は

　　

だから、

　　

よって、

　　

（解答終）

 

（注意）

in x、cos xのマクローリン展開については

　　

とするものもあるので注意。

 

 

問２の（１）、（２）の剰余項に注目すると、それぞれ、

　　

なので、マクローリン級数は収束し、

　　

 

お前らに質問（６月２７日 微分）

お前らに質問（６月２７日　微分）

 

 

問題　次の関数f(x)があるとする。

　　

f(x)はx=0で微分可能か？

 

結論から言えば、x=0で微分可能で、f'(0)=0。

微分可能であることは、右のグラフを見てもらえればよくわかるだろう。

だから、

　　

である。

 

では、微分の定義に則して、f(x)がx=0で微分可能であることを示してもらいましょうか。

 

まぁ、要するに、

　　

を求めてもらいましょうか、という問題だにゃ。

 

この極限は0/0の不定形だから、ロピタルの定理より

　　

 

などとやったら、ぬっ殺す！！ので、この点はくれぐれも留意すること。

 

 

言いつけを背いた奴は、こうだからにゃ。

 

 

さらに余力のある奴は、次のことを証明するにゃ。

 

追加問題

f(x)は偶関数で、x=0で微分可能である。このとき、f'(0)=0であることを示せ。

 

問題の関数

　　

は、x≠0のとき、

　　

となっていので偶関数、かつ、x=0で微分可能だから、x=0における微分係数f'(0)=0になっているにゃ。

 

言っておきますが、

偶関数だからf(x)=f(−x)である。両辺を微分すると、

　　

両辺にx=0を代入すると、

　　

は、追加問題の解答にならないにゃ。

 

なぜ、これがダメなのか、わかるかい？

 

ところで、

f(x)が微分可能な関数ならば、⑨から

　　

という関係が得られるので、f(x)が偶関数ならば、その導関数f'(x)は奇関数になる。

また、f(x)が奇関数のとき、

　　

だから、この両辺を微分すると、

　　

となり、その導関数f'(x)は偶関数になる。