お前らに質問 （６月１４日 ロピタルの定理）

お前らに質問　（６月１４日　ロピタルの定理）

 

 

「大学入試でロピタルの定理を使うと減点される」など、様々な都市伝説が存在するロピタルの定理。

 

ロピタルの定理というのは、

aを実数または±∞とする。

　　

または

　　

のとき、

　　

といったような感じの定理で――多くのヒトがこういう定理だと認識しているから、あえて正確に書かない！！――、0/0や∞/∞の不定形の極限計算に使われる、それはそれはありがたい定理だ。

 

では、お前らに質問。

 

次の答案は正しいか。

 

問題１　次の極限が存在すれば、その値を求めよ。

　　

【答案】

x→０のとき、sinx→０、x²→０なので、これは0/0の不定形の極限。

よって、ロピタルの定理より

　　

であるが、

　　

よって、

　　

は存在しない。

したがって、

　　

は存在しない。

（答案終）

 

のグラフは右の図のようになるから、

たしかに、なる極限は存在しない。

 

 

続いて、次の答案は正しいケロか。

 

 

 

問題２　次の極限が存在すれば、その値を求めよ。

　　

【答案】

x→∞のとき、x+sinx→∞、x→∞。したがって、これは∞/∞の不定形の極限なので、ロピタルの定理より

　　

となる。

ここで、

　　

とおくと、n→∞のときx→∞

　　

一方、

　　

とおくと、n→∞のときx→∞

　　

したがって、

極限

　　

は存在しない。

ゆえに、極限

　　

は存在しない。

（答案終）

 

そうですか、

　　

なる極限は存在しないのですか(^^)。

 

さぁ、この問題１、問題２の答案が正しいかどうか、お前らに答えてもらいましょうか。

 

念のために言っておくけれど、

　　

というのは、という極限が存在すれば、上のようになるという意味だにゃ。

ここがヤバい箇所ってわけじゃないケロよ。

こういうところに茶々を入れだしたら、極限計算、特にロピタルの定理を使った解答は不正解、不正解じゃないまでも大量減点で点数がつかなくなってしまうにゃ。

 

 

ところで、

お前らが採点者ならば、問題１、問題２（ともに、満点２０点）の答案に何点つける？

 

不幸にしてこの記事を読んでしまった奴は、おそらく、恐ろしくてロピタルの定理なんて二度と使う気にならないに違いない！！

 

 

第１７回 コーシーの平均値の定理とロピタルの定理

第１７回　コーシーの平均値の定理とロピタルの定理

 

定理１　コーシーの平均値の定理

f(x)、g(x)が閉区間[a,b]で連続、開区間(a,b)で微分可能、さらにg'(x)≠0ならば

　　

であるcが存在する。

【証明】

　　

とおき、

　　

とする。

h(x)は、[a,b]で連続、(a,b)で微分可能、かつ、h(a)=h(b)=0。

ロールの定理より

　　

となるcが存在する。

g'(x)はa<x<bでg'(x)≠0だから、g'(c)≠0。

よって、

　　

である。

（証明終わり）

 

このコーシーの平均値の定理を用いると、やの不定形の極限を求める時に用いられるロピタルの定理を証明することができる。

 

定理２　L'Hospital（ロピタル）の定理

関数f(x)、g(x)は、点aを除く点aの近傍で微分可能で、かつ、g’(x)≠0であるとする。

このとき、

　　

で、さらにが存在すれば、

　　

である。

【証明】

だから、と考えてよい。

x>aのとき、閉区間[a,x]とすればg'(x)≠0だからコーシーの平均値の定理の条件を満たすので、

　　

となるa<c<xが存在する。

x→a+0のときc→a+0なので、

　　

x<aのとき、閉区間[x,a]とすればg'(x)≠0だからコーシーの平均値の定理の条件を満たすので、

　　

となるx<c<aが存在する。

x→a−0のときc→a−0なので、

　　

よって、

　　

（証明終）

 

の場合、x=1/tとおくと、t→0+0に対して、

　　

となるので、aが±∞の場合についても定理２を用いることができる。

 

また、の場合の証明の概要は次のとおり。

 

ある値x≠aを決めたとき、yをさらにaに近くとれば、g(y)は非常に大きくなるから、

　　

とすることができる。

コーシーの平均値の定理から、このxとyに関して、

　　

となるcがxとyの間に存在する。

よって、

　　

ここで、x→aの場合を考えると、y→a、c→aだから

　　

したがって、のとき、

　　

が存在すれば、

　　

（注意）

正しくは、

　　

や

　　

 

 

問１　ロピタルの定理を用いて、次の極限を求めよ。

【解答（？）】

（１）　0/0の形の不定形の極限なので、ロピタルの定理より

　　

 

（２）　0/0の形の不定形の極限なので、ロピタルの定理より

　　

 

（３）　0/0の形の不定形の極限なので、、ロピタルの定理より

　　

 

（４）　0/0の形の不定形の極限なので、ロピタルの定理より

　　

 

（５）

　　

と考えると、この極限は∞/∞の不定形の極限になり、ロピタルの定理を使うことができる。

　　

 

（解答終）

 

 

問２　次の極限値を求めよ。

【解】

（１）　0/0の形なので、ロピタルの定理より

　　

 

（２）　∞/∞の極限なので、ロピタルの定理より

　　

 

（解答終）

 

問題　f''(x)が連続、f''(a)≠0のとき、平均値の定理より

　　

となるθは、であることを示せ。

【解】

平均値の定理より

　　

よって、

　　

また、

　　

これを①に代入すると、

　　

さて、

　　

f''(x)は連続だから、

　　

よって、

　　

（解答終）